Меню

Формулы для геометрической прогрессии как найти q



Геометрическая прогрессия (ЕГЭ – 2021)

Хочешь знать, как посчитать, сколько процентов тебе начислят на вклад в банке?

Как быстро заразится весь класс, если каждый ученик будет заражать двух других?

Как вывести любую формулу на геометрическую прогрессию, если ты ее забыл?

И, кстати, знание всего этого позволит получить тебе дополнительные баллы на ЕГЭ. На экономической задаче, например.

ШПОРА О ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИИ

Геометрическая прогрессия <( displaystyle <_>)> – это числовая последовательность, первый член которой отличен от нуля, а каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число ( displaystyle q

0). Это число называют знаменателем геометрической прогрессии.

Знаменатель геометрической прогрессии может принимать любые значения, кроме ( displaystyle 0) и ( displaystyle 1).

Уравнение членов геометрической прогрессии — ( displaystyle <_>=<_<1>>cdot q<< >^>).

Сумма членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле:
( displaystyle <_>=frac<<_<1>>(<^>-1)>) или ( displaystyle <_>=frac<<_<1>>(1-<^>)><1-q>)

Если прогрессия является бесконечно убывающей, то:

Числовая последовательность

Если ты уже читал тему «Арифметическая прогрессия» ты можешь смело пропускать этот блок и переходить к самой сути. Если нет, то советую ознакомиться, чтобы иметь общее представление о том, что такое прогрессия в целом и с чем ее едят.

Итак, сядем и начнем писать какие-нибудь числа. Например: ( displaystyle 4,text< >7,text< >-8,text< >13,text< >-5,text< >-6,text< >0,text< >ldots )

Писать можно любые числа, и их может быть сколько угодно (в нашем случае их ( displaystyle 7)).

Сколько бы чисел мы не написали, мы всегда можем сказать, какое из них первое, какое – второе и так далее до последнего, то есть, можем их пронумеровать. Это и есть пример числовой последовательности:

Числовая последовательность – это множество чисел, каждому из которых можно присвоить уникальный номер.

Например, для нашей последовательности:

Присвоенный номер характерен только для одного числа последовательности. Иными словами, в последовательности нет трех вторых чисел. Второе число (как и ( displaystyle n)-ное число) всегда одно.

Число с номером ( displaystyle n) называетмя ( displaystyle n)-ным членом последовательности.

Всю последовательность мы обычно называем какой-нибудь буквой (например, ( displaystyle a)), и каждый член этой последовательности – той же буквой с индексом, равным номеру этого члена: ( displaystyle <_<1>>,text< ><_<2>>,text< >. text< ><_<10>>,text< >. text< ><_>).

Самые распространенные виды прогрессии это арифметическая и геометрическая. В этой теме мы поговорим о втором виде – геометрической прогрессии.

Для чего нужна геометрическая прогрессия и ее история возникновения

Еще в древности итальянский математик Леонардо из Пизы (более известный под именем Фибоначчи) занимался решением практических нужд торговли.

Перед монахом стояла задача определить, с помощью какого наименьшего количества гирь можно взвесить товар?

В своих трудах Фибоначчи доказывает, что оптимальной является такая система гирь: ( displaystyle 1,text< >2,text< >4,text< >8,text< >16. )

Это одна из первых ситуаций, в которой людям пришлось столкнуться с геометрической прогрессией, о которой ты уже наверное слышал и имеешь хотя бы общее понятие. Как только полностью разберешься в теме, подумай, почему такая система является оптимальной?

В настоящее время, в жизненной практике, геометрическая прогрессия проявляется при вложении денежных средств в банк, когда сумма процентов начисляется на сумму, скопившуюся на счете за предыдущий период.

Иными словами, если положить деньги на срочный вклад в сберегательный банк, то через год вклад увеличится на ( displaystyle 7%) от исходной суммы, т.е. новая сумма будет равна вкладу, умноженному на ( displaystyle 1,07).

Ещё через год уже эта сумма увеличится на ( displaystyle 7%), т.е. получившаяся в тот раз сумма вновь умножится на ( displaystyle 1,07) и так далее.

Подобная ситуация описана в задачах на вычисление так называемых сложных процентов – процент берется каждый раз от суммы, которая есть на счете с учетом предыдущих процентов. Об этих задачах мы поговорим чуть позднее.

Есть еще много простых случаев, где применяется геометрическая прогрессия.

Например, распространение гриппа: один человек заразил ( displaystyle 4) человек, те в свою очередь заразили еще по ( displaystyle 4) человека, и таким образом вторая волна заражения – ( displaystyle 16) человек, а те в свою очередь, заразили еще ( displaystyle 4)… и так далее…

Кстати, финансовая пирамида, та же МММ – это простой и сухой расчет по свойствам геометрической прогрессии. Интересно? Давай разбираться.

Геометрическая прогрессия

Допустим, у нас есть числовая последовательность:

Ты сразу же ответишь, что это легко и имя такой последовательности — арифметическая прогрессия с разностью ее членов ( displaystyle dtext< >=text< >2). А как на счет такого:

Если ты будешь вычитать из последующего числа предыдущее, то ты увидишь, что каждый раз получается новая разница (( displaystyle 9;90;900) и т.д.), но последовательность определенно существует и ее несложно заметить – каждое следующие число в ( displaystyle 10) раз больше предыдущего!

Такой вид числовой последовательности называется геометрической прогрессией и обозначается ( displaystyle <_>).

Геометрическая прогрессия <( displaystyle <_>) > — это числовая последовательность, первый член которой отличен от нуля, а каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число ( displaystyle mathbftext< >ne text< >0).

Это число называют знаменателем геометрической прогрессии.

Его автор, Алексей Шевчук, в феврале проведет 4 двухчасовых урока по теме «Планиметрия ЕГЭ №16». Цель уроков — получить 3 первичных балла на ЕГЭ!

Всего на курсе 12 уроков. 4 пройдут в феврале, а 8 уже доступны в записи до 1 августа 2021 года. Пройди эти 12 уроков и ты научишься решать задачи по планиметрии любой сложности. Подробно о том, что входит в курс можно прочитать здесь.

До 2-го февраля скидка — 35%. Осталось:

Источник статьи: http://youclever.org/book/geometricheskaya-progressiya-1/

Геометрическая прогрессия

п.1. Понятие геометрической прогрессии

Например:
1. Последовательность 1, 3, 9, 27, . является геометрической прогрессией с b1 = 1, q = 3.

2. Последовательность (mathrm<9, -3, 1, -frac13, frac19. >) является геометрической прогрессией с b1 = 9, (mathrm).

п.2. Формула n-го члена геометрической прогрессии

По определению геометрической прогрессии мы получаем рекуррентную формулу для n-го члена: bn = bn-1q. Из неё можно вывести аналитическую формулу:

п.3. Свойства геометрической прогрессии

Свойство 1. Экспоненциальный рост/падение

Геометрическая прогрессия с положительными первым членом и знаменателем b1 > 0, q > 0 является показательной функцией вида f(n) = kq n : $$ mathrm< b_n=fracq^n > $$

Для того чтобы числовая последовательность была геометрической прогрессией необходимо и достаточно, чтобы каждый её член, начиная со второго, был средним геометрическим предыдущего и последующего членов: $$ mathrm < left— text<геометрическая прогрессия> Leftrightarrow b_n=sqrtb_>, ninmathbb, n geq 2 > $$ Следствие: аждый член прогрессии является средним геометрическим двух равноудалённых от него членов: $$ mathrm< b_n=sqrtb_>, ninmathbb, kinmathbb, n geq k+1 > $$

Например:
Найдём b9, если известно, что (mathrm<16>, b_<11>=4>)
По следствию из признака геометрической прогрессии: (mathrm>=sqrt<16>cdot 4>=frac12>)

Свойство 3. Равенство сумм индексов

Если n> – геометрическая прогрессия, то из равенства сумм индексов следует равенство произведений членов: $$ mathrm < m+k=p+q Rightarrow b_mb_k=b_pb_q >$$ Следствие: произведение членов, равноудалённых от концов прогрессии, является постоянной величиной: $$ mathrm< b_1b_n = b_2b_=b_3b_=. > $$

п.4. Сумма первых n членов геометрической прогрессии

Например:
Найдём сумму первых 10 степеней двойки: 2 + 2 2 + 2 3 + . + 2 10
В этом случае b1 = 2, q = 2, n = 10
Получаем: (mathrm< S_<10>=2cdot frac<2^<10>-1><2-1>=2cdot (1024-1)=2046>)

п.5. Примеры

Пример 1. Найдите знаменатель геометрической прогрессии и сумму первых 10 членов, если:
а) b5 = 9, b8 = 243
Найдём отношение $$ mathrm< frac=frac=q^3, frac=frac<243><9>=27=3^3, q^3=3^3Rightarrow q = 3 > $$ Найдём 1-й член: $$ mathrm< b_1=frac=frac<9><3^4>=frac<3^2><3^4>=frac<1><3^2>=frac19 > $$ Сумма: $$ mathrm< S_<10>=b_1frac-1>=frac<3^<10>-1><9cdot 2>=frac<29524><9>=3280frac49 > $$ Ответ: q = 3, S10 = (mathrm<3280frac49>)

б) b1 = 3, bn = 96, Sn = 189
По формуле суммы: $$ mathrm< S_=fracRightarrow 189 =frac<96q-3>Rightarrow 189(q-1)=96q-3Rightarrow 93q=186Rightarrow q = 2 > $$ Сумма: $$ mathrm< S_<10>=b_1frac-1>=3cdot frac<2^<10>-1><2-1>=3cdot 1023=3069 > $$ Ответ: q = 2, S10 = 3069

Пример 2. Между числами (mathrm<40frac12 text<и> 5frac13>) вставьте такие четыре числа, чтобы они вместе с данными числами образовали геометрическую прогрессию.
По условию (mathrm) $$ mathrm< frac=q^5, frac=5frac13 : 40frac12=frac<16> <3>: frac<81><2>=frac<16> <3>cdot frac<2><81>=frac<32><243>=frac<2^5><3^5>=left(frac23right)^5 > $$ Знаменатель (mathrm)
Находим промежуточные члены прогрессии: begin mathrm< b_2=b_1q=40frac12cdotfrac23=frac<81><2>cdot frac23=27, b_3=b_2q=27cdotfrac23=18, >\ mathrm < b_4=b_3q=18cdotfrac23=12, b_5=b_4q=12cdotfrac23=8 >end Ответ: 27, 18, 12 и 8

Пример 4. В геометрической прогрессии, все члены которой положительны, сумма первого и второго членов равна 48, а сумма третьего и четвёртого членов равна 12. Найдите значение n, при котором Sn = 63. $$ text<По условию> left< begin < l >mathrm & \ mathrm & \ mathrm & endright. $$ Заметим, что b3 = b1q 2 , b_4=b_2q 2 . Второе уравнение можно переписать в виде: $$ mathrm< b_3+b_4=b_1q^2+b2q^2=underbrace<(b_1+b_2)>_ <=48>q^2=12 Rightarrow q^2=frac<12><48>=frac14 Rightarrow q=frac12 > $$ Берём положительное значение q, т.к. по условию все члены положительны.
Из первого уравнения $$ mathrm< b_1+b_2=b_1(1+q)=48 Rightarrow b_1=frac<48><1+frac12>=48cdotfrac23=32 > $$ Для третьего уравнения можем записать: begin mathrm< S_n=b_1frac=b_1frac<1-q^n><1-q>=32cdotfrac<1-frac<1><2^n>><1-frac12>=64left(1-frac<1><2^n>right)=63 >\ mathrm< 64-frac<64><2^n>=63 Rightarrow 1=frac<2^6><2^n> Rightarrow n=6 > end Ответ: 6

Пример 5. Бактерия, попав в организм, делится надвое каждые 20 мин. Сколько бактерий будет в организме через сутки?
Сутки – это 24 · 60 = 1440 мин, или n = 1440 : 20 = 72 цикла деления.
По условию необходимо найти

N = N0 · 2 n , где N0 = 1
N = 2 72 = 4 722 366 482 869 645 213 696 ≈ 4,7 · 10 21

Источник статьи: http://reshator.com/sprav/algebra/9-klass/geometricheskaya-progressiya/


Adblock
detector