Меню

Что такое знаменатель геометрической прогрессии и как его найти



Как найти знаменатель геометрической прогрессии

Пример.
Пусть имеется последовательность чисел:

Требуется найти знаменатель геометрической прогрессии.
Решение:

1 вариант. Возьмем произвольный член прогрессии (например, 90) и разделим его на предыдущий (30): 90/30=3.

2 вариант. Возьмем любой член геометрической прогрессии (например, 10) и разделим на него последующий (30): 30/10=3.

Ответ: знаменатель геометрической прогрессии 10, 30, 90, 270. равен 3.

Если значения членов геометрической прогрессии заданы не явно, а в форме соотношений, то составьте и решите систему уравнений.
Пример.
Сумма первого и четвертого члена геометрической прогрессии равняется 400 (b1+b4=400), а сумма второго и пятого члена равняется 100 (b2+b5=100).

Требуется найти знаменатель прогрессии.
Решение:

Запишите условие задачи в виде системы уравнений:
b1+b4=400

b2+b5=100
Из определения геометрической прогрессии вытекает, что:

b5=b1*q^4, где q – общепринятое обозначение знаменателя геометрической прогрессии.
Подставив в систему уравнений значения членов прогрессии, получите:
b1+ b1*q^3=400

b1*q+ b1*q^4=100
После разложения на множители получается:
b1*(1+q^3)=400

b1*q(1+q^3)=100
Теперь разделите соответствующие части второго уравнения на первое:
[b1*q(1+q^3)] / [b1*(1+q^3)] = 100/400, откуда: q=1/4.

Если известна сумма нескольких членов геометрической прогрессии или сумма всех членов убывающей геометрической прогрессии, то для нахождения знаменателя прогрессии воспользуйтесь соответствующими формулами:
Sn = b1*(1-q^n)/(1-q), где Sn – сумма n первых членов геометрической прогрессии и
S = b1/(1-q), где S – сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии (сумма всех членов прогрессии со знаменателем меньшим единицы).
Пример.

Первый член убывающей геометрической прогрессии равен единице, а сумма всех ее членов равна двум.

Требуется определить знаменатель этой прогрессии.
Решение:

Подставьте данные из задачи в формулу. Получится:
2=1/(1-q), откуда – q=1/2.

Источник статьи: http://www.kakprosto.ru/kak-68125-kak-nayti-znamenatel-geometricheskoy-progressii

Геометрическая прогрессия

п.1. Понятие геометрической прогрессии

Например:
1. Последовательность 1, 3, 9, 27, . является геометрической прогрессией с b1 = 1, q = 3.

2. Последовательность (mathrm<9, -3, 1, -frac13, frac19. >) является геометрической прогрессией с b1 = 9, (mathrm).

п.2. Формула n-го члена геометрической прогрессии

По определению геометрической прогрессии мы получаем рекуррентную формулу для n-го члена: bn = bn-1q. Из неё можно вывести аналитическую формулу:

п.3. Свойства геометрической прогрессии

Свойство 1. Экспоненциальный рост/падение

Геометрическая прогрессия с положительными первым членом и знаменателем b1 > 0, q > 0 является показательной функцией вида f(n) = kq n : $$ mathrm< b_n=fracq^n > $$

Для того чтобы числовая последовательность была геометрической прогрессией необходимо и достаточно, чтобы каждый её член, начиная со второго, был средним геометрическим предыдущего и последующего членов: $$ mathrm < left— text<геометрическая прогрессия> Leftrightarrow b_n=sqrtb_>, ninmathbb, n geq 2 > $$ Следствие: аждый член прогрессии является средним геометрическим двух равноудалённых от него членов: $$ mathrm< b_n=sqrtb_>, ninmathbb, kinmathbb, n geq k+1 > $$

Например:
Найдём b9, если известно, что (mathrm<16>, b_<11>=4>)
По следствию из признака геометрической прогрессии: (mathrm>=sqrt<16>cdot 4>=frac12>)

Свойство 3. Равенство сумм индексов

Если n> – геометрическая прогрессия, то из равенства сумм индексов следует равенство произведений членов: $$ mathrm < m+k=p+q Rightarrow b_mb_k=b_pb_q >$$ Следствие: произведение членов, равноудалённых от концов прогрессии, является постоянной величиной: $$ mathrm< b_1b_n = b_2b_=b_3b_=. > $$

п.4. Сумма первых n членов геометрической прогрессии

Например:
Найдём сумму первых 10 степеней двойки: 2 + 2 2 + 2 3 + . + 2 10
В этом случае b1 = 2, q = 2, n = 10
Получаем: (mathrm< S_<10>=2cdot frac<2^<10>-1><2-1>=2cdot (1024-1)=2046>)

п.5. Примеры

Пример 1. Найдите знаменатель геометрической прогрессии и сумму первых 10 членов, если:
а) b5 = 9, b8 = 243
Найдём отношение $$ mathrm< frac=frac=q^3, frac=frac<243><9>=27=3^3, q^3=3^3Rightarrow q = 3 > $$ Найдём 1-й член: $$ mathrm< b_1=frac=frac<9><3^4>=frac<3^2><3^4>=frac<1><3^2>=frac19 > $$ Сумма: $$ mathrm< S_<10>=b_1frac-1>=frac<3^<10>-1><9cdot 2>=frac<29524><9>=3280frac49 > $$ Ответ: q = 3, S10 = (mathrm<3280frac49>)

б) b1 = 3, bn = 96, Sn = 189
По формуле суммы: $$ mathrm< S_=fracRightarrow 189 =frac<96q-3>Rightarrow 189(q-1)=96q-3Rightarrow 93q=186Rightarrow q = 2 > $$ Сумма: $$ mathrm< S_<10>=b_1frac-1>=3cdot frac<2^<10>-1><2-1>=3cdot 1023=3069 > $$ Ответ: q = 2, S10 = 3069

Пример 2. Между числами (mathrm<40frac12 text<и> 5frac13>) вставьте такие четыре числа, чтобы они вместе с данными числами образовали геометрическую прогрессию.
По условию (mathrm) $$ mathrm< frac=q^5, frac=5frac13 : 40frac12=frac<16> <3>: frac<81><2>=frac<16> <3>cdot frac<2><81>=frac<32><243>=frac<2^5><3^5>=left(frac23right)^5 > $$ Знаменатель (mathrm)
Находим промежуточные члены прогрессии: begin mathrm< b_2=b_1q=40frac12cdotfrac23=frac<81><2>cdot frac23=27, b_3=b_2q=27cdotfrac23=18, >\ mathrm < b_4=b_3q=18cdotfrac23=12, b_5=b_4q=12cdotfrac23=8 >end Ответ: 27, 18, 12 и 8

Пример 4. В геометрической прогрессии, все члены которой положительны, сумма первого и второго членов равна 48, а сумма третьего и четвёртого членов равна 12. Найдите значение n, при котором Sn = 63. $$ text<По условию> left< begin < l >mathrm & \ mathrm & \ mathrm & endright. $$ Заметим, что b3 = b1q 2 , b_4=b_2q 2 . Второе уравнение можно переписать в виде: $$ mathrm< b_3+b_4=b_1q^2+b2q^2=underbrace<(b_1+b_2)>_ <=48>q^2=12 Rightarrow q^2=frac<12><48>=frac14 Rightarrow q=frac12 > $$ Берём положительное значение q, т.к. по условию все члены положительны.
Из первого уравнения $$ mathrm< b_1+b_2=b_1(1+q)=48 Rightarrow b_1=frac<48><1+frac12>=48cdotfrac23=32 > $$ Для третьего уравнения можем записать: begin mathrm< S_n=b_1frac=b_1frac<1-q^n><1-q>=32cdotfrac<1-frac<1><2^n>><1-frac12>=64left(1-frac<1><2^n>right)=63 >\ mathrm< 64-frac<64><2^n>=63 Rightarrow 1=frac<2^6><2^n> Rightarrow n=6 > end Ответ: 6

Пример 5. Бактерия, попав в организм, делится надвое каждые 20 мин. Сколько бактерий будет в организме через сутки?
Сутки – это 24 · 60 = 1440 мин, или n = 1440 : 20 = 72 цикла деления.
По условию необходимо найти

N = N0 · 2 n , где N0 = 1
N = 2 72 = 4 722 366 482 869 645 213 696 ≈ 4,7 · 10 21

Источник статьи: http://reshator.com/sprav/algebra/9-klass/geometricheskaya-progressiya/

Геометрическая прогрессия

Что нужно знать

Что вы узнаете

  • Что такое геометрическая прогрессия и чем она отличается от арифметической
  • Как найти любой член геометрической прогрессии
  • Что такое знаменатель геометрической прогрессии и как его найти
  • Чему равна сумма первых n n n членов геометрической прогрессии
  • Когда можно вычислить сумму бесконечной геометрической прогрессии

Геометрическая прогрессия

Если в арифметической прогрессии каждый член больше (или меньше) предыдущего на определенное число, то в геометрической прогрессии каждый следующий член получается умножением на одно и то же число q q q .

Знаменатель может быть и отрицательным числом. Например, последовательность 1 1 1 , − 1 -1 − 1 , 1 1 1 , − 1 -1 − 1 , 1 1 1 — это геометрическая прогрессия со знаменателем − 1 -1 − 1 .

Выберите из перечисленных ниже последовательностей геометрическую прогрессию:

Задачи на геометрические прогрессии во многом аналогичны задачам на арифметические прогрессии. В формулах сложение заменяется умножением, а умножение на k k k — возведением в степень k k k . В частности, выполняется равенство:

Из этой формулы следует такое равенство:

А теперь ответьте на вопрос на понимание. К какому типу относится такая последовательность, в которой первый член равен 1 0 0 100 1 0 0 , а каждый следующий член последовательности больше предыдущего на 2 0 % 20% 2 0 % ?

Не арифметическая и не геометрическая прогрессия

Решите теперь следующую задачу:

Сумма первых n n n членов геометрической прогрессии

Среди заданий 11 ЕГЭ не бывает задач на сумму геометрической прогрессии. Однако эту тему полезно знать для решения более сложных экзаменационных и практических задач.

Формула суммы геометрической прогрессии оказывается очень полезной для решения практических задач, особенно в области финансов.

Например, если выручка компании увеличивается каждый год на определенный процент, то суммарная выручка за 1 0 10 1 0 лет — это сумма геометрической прогрессии.

Сумму геометрической прогрессии со знаменателем q ≠ 1 qneq 1 q ≠ 1 можно найти по формуле:

Доказать эту формулу несколько сложнее, чем формулу суммы арифметической прогрессии. Тем не менее полезно познакомиться с ее доказательством.

Докажем утверждение по индукции.

Метод математической индукции позволяет доказывать и значительно более сложные утверждения.

Решите задачу с помощью этой формулы:

Дисконтированный денежный поток (дополнительно)

Еще одно важное применение геометрической прогрессии в финансах — расчет суммы приведенных (дисконтированных) денежных потоков. Если вы усвоите этот принцип, вам будет понятно, как финансисты рассчитывают справедливую стоимость актива (не важно, какого: акции, слитка золота, выданного кредита или даже коровы, которая дает молоко).

Мы называем денежным потоком любую сумму денег, которую получает (или планирует получить) человек или фирма в определенный период времени (например, в течение 2 0 1 5 2015 2 0 1 5 года). Будем называть человека, который ожидает получить денежный поток, инвестором.

Конечно же, прямо сейчас! Даже если вам не на что тратить эти деньги прямо сейчас, вы можете положить их в банк под процент и через год получить уже больше, чем 1 0 0 0 1000 1 0 0 0 рублей. Например, если банк принимает депозиты под 1 0 % 10% 1 0 % годовых, через год у вас будет 1 1 0 0 1100 1 1 0 0 рублей.

Рассмотрим еще один пример:

Бесконечная геометрическая прогрессия

Если бы рудник из предыдущей задачи приносил деньги вечно, то мы бы получили бесконечную геометрическую прогрессию . Сумма бесконечной геометрической прогрессии будет конечной, если каждый следующий член меньше предыдущего, то есть знаменатель прогрессии по модулю меньше 1 1 1 .

Получается, что дисконтированный денежный поток от “вечного» рудника составит D 1 + d ⋅ 1 1 − 1 1 + d = D 1 + d ⋅ 1 + d d = D d . frac<1+d>cdot frac<1><1-frac<1> <1+d>>=frac<1+d>cdot frac<1+d>=frac. 1 + d D ​ ⋅ 1 − 1 + d 1 ​ 1 ​ = 1 + d D ​ ⋅ d 1 + d ​ = d D ​ .

Чему будет равен дисконтированный денежный поток, если в условиях предыдущей задачи ежегодный доход равен 1 0 0 100 1 0 0 млн. рублей в год, а ставка дисконтирования равна 1 0 % 10% 1 0 % ?

Заключение

Задачи с арифметическими и геометрическими прогрессиями часто встречаются на практике. Если в условии говорится об увеличении на одну и ту же величину, то речь идет об арифметической прогрессии. Если же происходит увеличение в одно и то же число раз, либо на одно и то же число процентов, то речь идет о геометрической прогрессии.

Следующие формулы позволяют решить практически любую задачу на прогрессии:

Источник статьи: http://lampa.io/p/%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F-%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B5%D1%81%D1%81%D0%B8%D1%8F-0000000058435e1dbf6ea22bd1bea541


Adblock
detector