Меню

Что такое высота ромба и как ее найти



Сторона и высота ромба

Свойства

Ромб – это геометрическая фигура, у которой все стороны равны, поэтому ее периметр, как и периметр квадрата равен стороне, умноженной на 4. Площадь ромба зависит не только от его стороны, но и высоты, так как ромб является параллелограммом, эта формула заимствована от него. Чтобы вычислить площадь ромба необходимо умножить высоту на его сторону. P=4a S=ah

Углы ромба также связаны с высотой, так как она образует внутри ромба прямоугольный треугольник. Синус угла α в ромбе равен отношению высоты, как катета, к стороне ромба, как гипотенузе. Угол β можно найти через разность 180 градусов и угла α. (рис.115.1) sin⁡α=h/a β=180°-α

Зная любой угол ромба, можно найти его диагонали. Поскольку диагонали ромба пересекаются под прямым углом, они делят ромб на четыре конгруэнтных прямоугольных треугольника, катетами которых являются половины диагоналей и гипотенузой – сторона ромба. Соответственно в каждом таком треугольнике, углы равны половинам углов ромба. Вычислить диагонали через угол α можно, приравняв их к стороне ромба умноженной на синус или косинус α соответственно. (рис.115.2) d_1=a sin⁡〖α/2〗 d_1=a cos⁡〖α/2〗

Так как ромб является равносторонним многоугольником, следовательно, в него можно вписать окружность. Радиус вписанной окружности соединяет ее центр в точке пересечения диагоналей и сторону ромба перпендикулярным ей отрезком. Поскольку единственным перпендикуляром в ромбе является высота, то в совокупности с вышеописанным свойствами можно сделать вывод, что радиус равен половине высоты ромба. (рис.115.3) r=h/2

Источник статьи: http://geleot.ru/education/math/geometry/calc/rhombus/side_and_height

Как найти высоту ромба. Формулы

Формулы высоты ромба

Высота ромба равна произведению стороны ромба на синус его угла

Формулы высоты через диагональ и угол:

Формула высоты ромба через его диагонали

Формула высоты ромба через его диагонали и сторону

d1 – большая диагональ ромба;

d2 – меньшая диагональ ромба;

Вывод формулы высоты ромба

Шаг 1

Рассмотрим ромб ABCD. Проведем в нем высоту ВК.

Выразим ВК через сторону ромба АВ и его угол А.

Вывод формулы высоты ромба. Шаг 1

Шаг 2

Рассмотрим прямоугольный треугольник АКВ.

Причем не важно, в качестве угла брать острый или тупой угол ромба, так как сумма углов ромба, прилежащих к одной стороне равна 180 градусов:

В результате получаем, что высота ромба равна произведению его стороны на синус любого из углов ромба:

Вывод формулы высоты ромба. Шаг 2

Шаг 3

Докажем формулы высоты через диагональ и угол:

Высота ромба в два раза больше радиуса вписанной в этот ромб окружности:

Формулы радиуса окружности через диагональ и угол выглядят следующим образом:

Тогда высота ромба будет равна:

Вывод формулы высоты ромба. Шаг 3

Шаг 4

Докажем формулу высоты ромба через его диагонали:

Площадь ромба равна половине произведения диагоналей:

С другой стороны, площадь ромба равна произведению его стороны на высоту:

Приравняем правые части равенств:

Отсюда высота будет равна:

Используем формулу стороны ромба, через его диагонали:

Источник статьи: http://mathvox.ru/geometria/mnogougolniki/glava-6-romb-i-ego-svoistva/kak-naiti-visotu-romba/

Ромб. Формулы, признаки и свойства ромба

Рис.1 Рис.2

Признаки ромба

Δ ABO = Δ BCO = Δ CDO = Δ ADO

Основные свойства ромба

∠BAC = ∠CAD, ∠ABD = ∠DBC, ∠BCA = ∠ACD, ∠ADB = ∠BDC

Сторона ромба

Формулы определения длины стороны ромба:

5. Формула стороны ромба через диагональ и косинус острого угла ( cos α ) или косинус тупого угла ( cos β ):

a = d 1
√ 2 + 2 cosα
a = d 2
√ 2 — 2 cosβ

6. Формула стороны ромба через большую диагональ и половинный угол:

a = d 1
2 cos ( α /2)
a = d 1
2 sin ( β /2)

7. Формула стороны ромба через малую диагональ и половинный угол:

a = d 2
2 cos ( β /2)
a = d 2
2 sin ( α /2)

Диагонали ромба

Формулы определения длины диагонали ромба:

7. Формулы диагоналей через площадь и другую диагональ:

d 1 = 2S
d 2
d 2 = 2S
d 1

8. Формулы диагоналей через синус половинного угла и радиус вписанной окружности:

d 1 = 2 r
sin ( α /2)
d 2 = 2 r
sin ( β /2)

Периметр ромба

Периметром ромба называется сумма длин всех сторон ромба.

Длину стороны ромба можно найти за формулами указанными выше.

Формула определения длины периметра ромба:

Площадь ромба

Формулы определения площади ромба:

4. Формула площади ромба через две диагонали:

5. Формула площади ромба через синус угла и радиус вписанной окружности:

6. Формулы площади через большую диагональ и тангенс острого угла ( tgα ) или малую диагональ и тангенс тупого угла ( tgβ ):

S = 1 d 1 2 · tg ( α /2)
2
S = 1 d 2 2 · tg ( β /2)
2

Окружность вписанная в ромб

Формулы определения радиуса круга вписанного в ромб:

1. Формула радиуса круга вписанного в ромб через высоту ромба:

2. Формула радиуса круга вписанного в ромб через площадь и сторону ромба:

3. Формула радиуса круга вписанного в ромб через площадь и синус угла:

4. Формулы радиуса круга вписанного в ромб через сторону и синус любого угла:

r = a · sinα
2
r = a · sinβ
2

5. Формулы радиуса круга вписанного в ромб через диагональ и синус угла:

r = d 1 · sin ( α /2)
2
r = d 2 · sin ( β /2)
2

6. Формула радиуса круга вписанного в ромб через две диагонали:

r = d 1 · d 2
2√ d 1 2 + d 2 2

7. Формула радиуса круга вписанного в ромб через две диагонали и сторону:

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Источник статьи: http://ru.onlinemschool.com/math/formula/rhombus/


Adblock
detector