Меню

Что такое угловой коэффициент касательной как его найти



Угловой коэффициент касательной как значение производной в точке касания

Если (y=kx+b) — уравнение касательной к кривой (f(x)) , то

[>] где (x_o) — абсцисса точки касания прямой и кривой.

Прямая (y=12x+13) является касательной к графику функции (y=x^3-9x^2-9x+2) . Найдите абсциссу точки касания.

Пусть (x_0) – точка касания. Так как значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной и (y’=3x^2-18x-9) , то [3x_0^2-18x_0-9=12 quad Leftrightarrowquad x_0=7 quad >>quad x_0=-1.] Так как (y=12x+13) и (y=x^3-9x^2-9x+2) имеют общую точку (и это точка касания), то [12x_0+13=x_0^3-9x_0^2-9x_0+2] Проверим значение (x_0=-1) : [12cdot (-1)+13=(-1)^3-9cdot (-1)^2-9cdot (-1)+2 quad Leftrightarrowquad 0=0] Аналогичной проверкой убеждаемся, что (x_0=7) не подходит. Следовательно, ответ (-1.)

Прямая (y=12x-73) является касательной к графику функции (y=ax^2-18x+2) . Найдите (a) .

Пусть (x_0) – точка касания. Так как значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной и (y’=2ax-18) , то [2ax_0-18=12 quad Leftrightarrowquad x_0=dfrac<15>aquad (1)] Так как (y=12x-73) и (y=ax^2-18x+2) имеют общую точку (и это точка касания), то [12x_0-73=ax_0^2-18x_0+2quad (2)] Подставим ((1)) в ((2)) : [dfrac<15^2>a-dfrac<30cdot 15>a+75=0 Bigg|:75quad Leftrightarrow quad -dfrac3a+1=0 quadLeftrightarrowquad a=3.]

Прямая (y=8(2x-1)) параллельна касательной к графику функции (f(x)=3x^2+7x+5) . Найдите абсциссу точки касания.

Так как параллельные прямые имеют равные угловые коэффициенты, то уравнение касательной будет выглядеть так: (y_k=16x+b) , где (b) – некоторое число.
Так как значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, то, если (x_0) – абсцисса точки касания, [f'(x_0)=16 quadRightarrowquad 6x_0+7=16 quadLeftrightarrowquad x_0=dfrac32=1,5.]

Прямая (y=7x-5) параллельна касательной к графику функции (y=x^2+6x-8) . Найдите абсциссу точки касания.

Пусть (y_k=kx+b) – уравнение касательной. Так как (y=7x-5) параллельна (y_k) , то их угловые коэффициенты равны, следовательно, (k=7) .
Так как угловой коэффициент касательной к графику функции (f(x)) равен значению производной функции в точке касания (x_0) , то есть (7=k=f'(x_0)) , а (f'(x)=2x+6) , то [7=2x_0+6quadLeftrightarrowquad x_0=0,5]

Прямая, заданная уравнением (y = 3x + 1) , касается графика функции (f(x)) в точке ((x_0; f(x_0))) . Найдите (f'(x_0)) .

Производная функции (f(x)) в точке (x_0) равна угловому коэффициенту (a) касательной (y = ax + b) в точке ((x_0; f(x_0))) .

Прямая, заданная уравнением (y = -x — 1) , касается графика функции (f(x)) в точке ((x_0; f(x_0))) . Найдите (f'(x_0)) .

Производная функции (f(x)) в точке (x_0) равна угловому коэффициенту (a) касательной (y = ax + b) в точке ((x_0; f(x_0))) .

Прямая, заданная уравнением (y = 1,5x) , касается графика функции (f(x)) в точке ((x_0; f(x_0))) . Найдите (f'(x_0)) .

Производная функции (f(x)) в точке (x_0) равна угловому коэффициенту (a) касательной (y = ax + b) в точке ((x_0; f(x_0))) .

Задачи на нахождение производной касательной включены в ЕГЭ по математике и встречаются там ежегодно. При этом статистика последних лет показывает, что подобные задания вызывают у выпускников определенные затруднения. Поэтому, если учащийся рассчитывает получить достойные баллы по итогам прохождения ЕГЭ, то ему непременно стоит научиться справляться с задачами из раздела «Угловой коэффициент касательной как значение производной в точке касания», подготовленными специалистами образовательного портала «Школково». Разобравшись с алгоритмом их решения, ученик сможет успешно преодолеть аттестационное испытание.

Основные моменты

Приступая к решению задач ЕГЭ по данной теме, необходимо вспомнить основное определение: производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в этой точке. В этом и состоит геометрический смысл производной.

Необходимо освежить в памяти и другое важное определение. Оно звучит следующим образом: угловой коэффициент равняется тангенсу угла наклона касательной к оси абсцисс.

Какие еще важные моменты стоит отметить в этой теме? При решении задач на нахождение производной в ЕГЭ необходимо помнить, что угол, который образует касательная, может быть меньше, больше 90 градусов или равняться нулю.

Как подготовиться к экзамену?

Для того, чтобы задания в ЕГЭ на тему «Угловой коэффициент касательной как значение производной в точке касания» давались вам достаточно легко, воспользуйтесь при подготовке к выпускному испытанию информацией по этому разделу на образовательном портале «Школково». Здесь вы найдете необходимый теоретический материал, собранный и понятно изложенный нашими специалистами, а также сможете попрактиковаться в выполнении упражнений.

Для каждого задания, например, задач на тему «Угловой коэффициент касательной как тангенс угла наклона», мы прописали правильный ответ и алгоритм решения. При этом учащиеся могут выполнять упражнения различного уровня сложности в режиме онлайн. В случае необходимости задачу можно сохранить в разделе «Избранное», чтобы потом обсудить ее решение с преподавателем.

Источник статьи: http://shkolkovo.net/catalog/vzaimosvyaz_funkcii_i_ee_proizvodnoj/uglovoj_koefficient_kasatelnoj_kak_znacheniev_tochke_kasaniya

Уравнение касательной к графику функции (ЕГЭ – 2021)

Чтобы разобраться с этой темой, нужно знать что такое производная.

Сейчас проверим, знаешь ли ты ее… 🙂

Найди приращение функции ( y=<^<2>>+2x+3) при приращении аргумента, равном ( Delta x).

Должно получиться ( Delta y=Delta xleft( Delta x+2x+2 right)).

А теперь найди производную функции ( yleft( x right)=3<^<2>>sqrt) в точке ( <_<0>>=frac<^<2>><16>).

Если в каком-нибудь из этих примеров возникли сложности, настоятельно рекомендую вернуться к теме «Производная» и проштудировать ее еще раз.

Знаю, тема очень большая, но иначе нет смысла идти дальше.

А если ты справился, то в путь!

ШПОРА. УРАВНЕНИЕ КАСАТЕЛЬНОЙ К ГРАФИКУ ФУНКЦИИ

Геометрический смысл производной

Производная функции в конкретной точке равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в этой точке, или угловому коэффициенту этой касательной:

Уравнение касательной

Уравнение касательной к графику функции ( fleft( x right)) в точке ( <_<0>>):

Алгоритм действий для нахождения уравнения касательной

Пример: ( fleft( x right)=<^<2>>-2x+3), ( <_<0>>=3)

1. Вычислим ( fleft( <_<0>> right))

2. Найдем формулу производной функции ( ‘left( x right))

4. Подставим ( <_<0>>,text< >fleft( <_<0>> right)) и ( ‘left( <_<0>> right)) в формулу уравнения касательной ( y=‘left( <_<0>> right)cdot left( x-<_<0>> right)+fleft( <_<0>> right))

( beginy=‘left( <_<0>> right)cdot left( x-<_<0>> right)+fleft( <_<0>> right)=\text< >=4left( x-3 right)+6=4 -12+6=\text< >=4 -6end)

Геометрический смысл производной

Рассмотрим график какой-то функции ( y=fleft( x right)):

Выберем на линии графика некую точку ( A). Пусть ее абсцисса ( <_<0>>), тогда ордината равна ( fleft( <_<0>> right)).

Затем выберем близкую к точке ( A) точку ( B) с абсциссой ( <_<0>>+Delta x); ее ордината – это ( fleft( <_<0>>+Delta x right)):

Проведем прямую через эти точки. Она называется секущей (прямо как в геометрии).

Обозначим угол наклона прямой к оси ( Ox) как ( alpha ).

Как и в тригонометрии, этот угол отсчитывается от положительного направления оси абсцисс против часовой стрелки.

Какие значения может принимать угол ( alpha )?

Как ни наклоняй эту прямую, все равно одна половина будет торчать вверх. Поэтому максимально возможный угол – ( 180<>^circ ), а минимально возможный – ( 0<>^circ ).

Значит, ( alpha in left[ 0<>^circ ;180<>^circ right)). Угол ( 180<>^circ ) не включается, поскольку положение прямой в этом случае в точности совпадает с ( 0<>^circ ), а логичнее выбирать меньший угол.

Возьмем на рисунке такую точку ( C), чтобы прямая ( AC) была параллельна оси абсцисс, а ( BC) – ординат:

По рисунку видно, что ( AC=Delta x), а ( BC=Delta f).

Тогда отношение приращений:

(так как ( angle C=90<>^circ ), то ( triangle ABC) – прямоугольный).

Давай теперь уменьшать ( Delta x).

Тогда точка ( B) будет приближаться к точке ( A). Когда ( Delta x) станет бесконечно малым ( left( Delta xto 0 right)), отношение ( frac) станет равно производной функции в точке ( <_<0>>).

Что же при этом станет с секущей?

Точка ( B) будет бесконечно близка к точке ( A), так что их можно будет считать одной и той же точкой.

Но прямая, имеющая с кривой только одну общую точку – это ни что иное, как касательная (в данном случае это условие выполняется только на небольшом участке – вблизи точки ( A), но этого достаточно).

Говорят, что при этом секущая занимает предельное положение.

Угол наклона секущей к оси ( displaystyle Ox) назовем ( varphi ). Тогда получится, что производная

Производная равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в данной точке

Поскольку касательная – это прямая, давай теперь вспомним уравнение прямой:

За что отвечает коэффициент ( displaystyle k)? За наклон прямой. Он так и называется: угловой коэффициент.

Что это значит? А то, что равен он тангенсу угла между прямой и осью ( displaystyle Ox)!

То есть вот что получается:

Но мы получили это правило, рассматривая возрастающую функцию. А что изменится, если функция будет убывающей?

Посмотрим: Теперь углы ( alpha ) и ( displaystyle varphi ) тупые. А приращение функции ( Delta f) – отрицательное.

Снова рассмотрим ( triangle ABC): ( angle B=180<>^circ -alpha text< >Rightarrow text< > angle B=- alpha ).

Получаем: ( frac<-Delta f>=- alpha text< >Rightarrow text< >frac= alpha ), то есть все, как и в прошлый раз.

Снова устремим точку ( displaystyle B) к точке ( displaystyle A), и секущая ( displaystyle AB) примет предельное положение, то есть превратится в касательную к графику функции в точке ( displaystyle A).

Итак, сформулируем окончательно полученное правило:

Производная функции в данной точке равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в этой точке, или (что то же самое) угловому коэффициенту этой касательной:

Автор этого учебника, Алексей Шевчук, проводит бесплатные вебинары по самым сложным задачам ЕГЭ по математике и информатике.

На вебинарах все будет еще понятнее. Шорткаты, лайфхаки, разбор «капканов» — все там.

Это и есть геометрический смысл производной.

Окей, все это интересно, но зачем оно нам? Вот пример:

На рисунке изображен график функции ( displaystyle y=mathsfleft( x right)) и касательная к нему в точке с абсциссой ( <_<0>>).

Найдите значение производной функции ( displaystyle mathsfleft( x right)) в точке ( <_<0>>).

Как мы недавно выяснили, значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс:

( displaystyle f’left( x right)=k= varphi).

Значит, для нахождения значения производной нам нужно найти тангенс угла наклона касательной.

На рисунке у нас отмечено две точки, лежащие на касательной, координаты которых нам известны. Так давай достроим прямоугольный треугольник, проходящий через эти точки, и найдем тангенс угла наклона касательной!

Угол наклона касательной к оси ( displaystyle Ox) – это ( displaystyle angle BAC). Найдем тангенс этого угла:

Таким образом, производная функции ( displaystyle mathsfleft( x right)) в точке ( <_<0>>) равна ( displaystyle 1,2).

Ответ: ( displaystyle 1,2).

Два примера на самостоятельную работу

Решение примера 1

Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс:

( displaystyle k=f’left( x right)= beta).

Достроим треугольник со стороной ( displaystyle AC), лежащей на касательной.

Угол наклона касательной – это угол, отмеченный зеленым на графике.

Он тупой ( left( >90<>^circ right)), поэтому его тангенс не получится вычислить так же, как в предыдущем примере (ведь в прямоугольном треугольнике не может быть тупого угла).

Применим знания из тригонометрии.

Интересующий нас угол ( beta ) является смежным с ( displaystyle angle ACB). А значит:

( displaystyle beta = left( 180<>^circ -angle ACB right)=- angle ACB.)

Найдем ( displaystyle angle ACB):

Значит тангенс угла наклона касательной (а вместе с ним и значение производной в точке касания) равен ( displaystyle -1).

Ответ: ( displaystyle -1).

Решение примера 2

Здесь ответ равен ( displaystyle frac<5><6>). В ЕГЭ такой ответ написать не получится, но мы ведь должны понимать, что математика не ограничена рамками ЕГЭ.

Зная геометрический смысл производной, можно очень просто объяснить правило, что производная в точке локального максимума или минимума равна нулю.

Действительно, касательная к графику в этих точках «горизонтальна», то есть параллельна оси абсцисс:

А чему равен угол между параллельными прямыми? Конечно, нулю! А тангенс нуля тоже равен нулю. Вот и производная равна нулю:

Более подробно об этом читай в теме «Монотонность функций. Точки экстремума».

Его автор, Алексей Шевчук, ведет наши курсы подготовки к ЕГЭ по математике и информатике.

Приходи, научишься решать задачи любой сложности с самого нуля. Шаг за шагом.

От 2000 до 3990 руб / месяц, 3 раза в неделю по 2 часа.

Уравнение касательной

А сейчас сосредоточимся на произвольных касательных.

Предположим, у нас есть какая-то функция, например, ( fleft( x right)=left( <^<2>>+2 right)). Мы нарисовали ее график и хотим провести касательную к нему в какой-нибудь точке ( <_<0>>). Например, в точке ( <_<0>>=2).

Берем линейку, пристраиваем ее к графику и чертим:

Что мы знаем об этой прямой? Что самое важное нужно знать о прямой на координатной плоскости?

Поскольку прямая – это изображение линейной функции, очень удобно было бы знать ее уравнение. То есть коэффициенты ( k) и ( b) в уравнении

Но ведь ( k) мы уже знаем! Это угловой коэффициент касательной, который равен производной функции в этой точке:

В нашем примере будет так:

Теперь остается найти ( b) . Это проще простого: ведь ( b) – значение ( y) при ( displaystyle x=0).

Графически ( b) – это координата пересечения прямой с осью ординат (ведь ( displaystyle x=0) во всех точках оси ( displaystyle Oy)):

Проведём ( BCparallel Ox) (так, что ( triangle ABC) – прямоугольный).

Тогда ( angle ABC=alpha )(тому самому углу между касательной и осью абсцисс). Чему равны ( displaystyle AC) и ( displaystyle BC)?

По рисунку явно видно, что ( BC=<_<0>>), а ( AC=fleft( <_<0>> right)-b). Тогда получаем:

Соединяем все полученные формулы в уравнение прямой:

( y=‘left( <_<0>> right)cdot left( x-<_<0>> right)+fleft( <_<0>> right))

Это и есть уравнение касательной к графику функции ( fleft( x right)) в точке ( <_<0>>).

Найди уравнение касательной к графику функции ( fleft( x right)=<^<2>>-2x+3) в точке ( <_<0>>=3).

На этом примере выработаем простой.

Алгоритм действий для нахождения уравнения касательной

Пример: ( fleft( x right)=<^<2>>-2x+3), ( <_<0>>=3)

1. Вычислим ( fleft( <_<0>> right))

2. Найдём формулу производной функции ( ‘left( x right))

4. Подставим ( <_<0>>,text< >fleft( <_<0>> right)) и ( ‘left( <_<0>> right)) в формулу уравнения касательной ( y=‘left( <_<0>> right)cdot left( x-<_<0>> right)+fleft( <_<0>> right))

( beginy=‘left( <_<0>> right)cdot left( x-<_<0>> right)+fleft( <_<0>> right)=\text< >=4left( x-3 right)+6=4 -12+6=\text< >=4 -6end)

Пять примеров для самостоятельной работы

Разбор примеров

Зарегистрируйся один раз и ты откроешь все 100 статей учебника

А также получишь доступ к видеоурокам и другим бесплатным материалам курса «Подготовка к ЕГЭ с репетитором»

* Если не понравятся бесплатные материалы, ты сможешь отписаться в любой момент

Пример 1

Пример 2

То, что нам известен угол наклона касательной, очень хорошо: ведь его тангенс равен производной функции, а также угловому коэффициенту ( displaystyle k) касательной.

Но тут есть подвох: дело в том, что под углом ( displaystyle 45<>^circ ) ось ( displaystyle Ox) могут пересекать две разные касательные: с наклоном «вправо» и «влево»:

Прямая 2 (та, которая «наклонена влево») с положительным направлением оси ( displaystyle Ox) составляет угол ( 180<>^circ -45<>^circ =135<>^circ ) – это и есть угол наклона прямой к оси ( displaystyle Ox).

Прямая 1. ( alpha = 45<>^circ =1text< >Rightarrow text< >‘left( <_<0>> right)=1 Rightarrow -4<_<0>>+1=1text< >Rightarrow text< ><_<0>>=0), ( yleft( <_<0>> right)=3).

Касательная: ( f=1cdot left( x-0 right)+3=x+3).

Прямая 2. ( alpha = 135<>^circ =-1text< >Rightarrow text< >‘left( <_<0>> right)=-1 Rightarrow -4<_<0>>+1=-1text< >Rightarrow text< ><_<0>>=frac<1><2>), ( yleft( <_<0>> right)=3).

Касательная: ( f=-1cdot left( x-frac<1> <2>right)+3=-x+3,5).

Ответ: ( displaystyle x+3); ( displaystyle -x+3,5).

Пример 3

Абсцисса – это ось ( displaystyle Ox), а значит, нам нужно найти значение ( displaystyle x) в точке пересечения касательной и графика функции.

Из уравнения ( displaystyle k=f’left( x right)= beta ) мы знаем, что угловой коэффициент наклона касательной равен значению производной в точке касания.

Поскольку прямая ( displaystyle y=13x+5) параллельна касательной, это значит, что их угловые коэффициенты наклона одинаковые ( displaystyle left( k=13 right)).

Согласно правилам вычисления производных, находим производную функции ( displaystyle y=4<^<2>>+5-13):

Теперь приравниваем производную к коэффициенту наклона касательной и находим абсциссу ( displaystyle left( x right)) точки касания:

Ответ:( displaystyle 1).

Пример 4

Ответ: ( displaystyle 2).

Пример 5

Ответ: ( displaystyle 14)

P.S. Анонс платных и бесплатных вебинаров на эту неделю (с 1-го по 7-е февраля 2021)

Вторник. 18-00 мск. Экономическая задача. ЕГЭ 17. Кредиты — 1 — https://youclever.org/prices-math-repetitor-d/

Это 2-й из 4-х уроков курса по экономической задаче. По окончании курса вы сможете решать любую экономическую задачу (в том числе на оптимизацию, где надо знать производную) и получите свои 3 балла на ЕГЭ. Все уроки доступны в записи до 1 августа 2021 года.

Среда. 18-00 мск. Планиметрия ЕГЭ №16. Касательные, касающиеся окружности — https://youclever.org/prices-math-repetitor-d/

Это 9-й из 12-ти уроков на планиметрию. Количество уроков курса говори само за себя. Планиметрия — одна из самых сложных тем. Но мы разберемся со всеми сложностями. Покупайте курс и вы сможете получить 3 балла на ЕГЭ по планиметрии. Все уроки доступны в записи до 1 августа 2021 года.

Пятница. 18-00 мск. Экономическая задача. ЕГЭ 17. Кредиты — 2 — https://youclever.org/prices-math-repetitor-d/

Это 3-й из 4-х уроков курса по экономической задаче. По окончании курса вы сможете решать любую экономическую задачу (в том числе на оптимизацию, где надо знать производную) и получите свои 3 балла на ЕГЭ. Все уроки доступны в записи до 1 августа 2021 года.

Бесплатный воскресный вебинар. 11-00. ЕГЭ 19. Задача — загадка.

Регистрация здесь: https://youclever.org/free-sunday-webinars/ Кстати, зарегистрируйтесь один раз и вы будете получать приглашения на ВСЕ бесплатные вебинары до конца года.

ИНФОРМАТИКА

Это 2-й из 8-ми уроков курса «Цикл с параметром (for). Массивы. Работа с файлами. ЕГЭ №17, 24, 25». Пройдите 8 уроков и вы сможете получить на ЕГЭ целых 4 первичных балла! Все уроки доступны в записи до 1 августа 2021 года.

Четверг. 18-00. Вложенные циклы и сложные условия — https://youclever.org/prices-informatics-repetitor-d/

Это 3-й из 8-ми уроков курса «Цикл с параметром (for). Массивы. Работа с файлами. ЕГЭ №17, 24, 25».

Эта тема чрезвычайно важна! На ЕГЭ по информатике за нее дают целых 4 первичных балла! За 8 уроков мы разберем все, что для этого нужно. Все уроки доступны в записи до 1 августа 2021 года.

Бесплатный воскресный вебинар 11-00. ЕГЭ №26. Жадный алгоритм. Олимпиадная задача и задача ЕГЭ.

Регистрация здесь: https://youclever.org/free-sunday-webinars/ Кстати, зарегистрируйтесь один раз и вы будете получать приглашения на ВСЕ бесплатные вебинары до конца года.

ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ

По всем курсам математики и информатики по каждому уроку предусмотрены домашние задания и их проверка, чтобы вы не только поняли тему, но и САМОЕ ГЛАВНОЕ научились решать задачи.
И еще вы можете задавать вопросы Алексею Шевчуку в закрытой группе Вконтакте.

Приходите на бесплатные вебинары или покупайте курсы и готовьтесь системно вместе с нами!

Источник статьи: http://youclever.org/book/uravnenie-kasatelnoj-k-grafiku-funktsii-1/


Adblock
detector