Меню

Что такое тетраэдр и как найти его площадь



Тетраэдр.

Тетраэдр — это частный случай правильной треугольной пирамиды.

Тетраэдр — правильный многогранник (четырёхгранный), имеющий 4 грани, они, в свою очередь, оказываются правильными треугольниками. У тетраэдра 4 вершины, к каждой из них сходится 3 ребра. Общее количество ребер у тетраэдра 6.

Медиана тетраэдра — это отрезок, который соединяет вершину тетраэдра и точку пересечения медиан противоположной грани (медиан равностороннего треугольника, который противолежит вершине).

Бимедиана тетраэдра — это отрезок, который соединяет середины рёбер, что скрещиваются (соединяет середины сторон треугольника, который есть одной из граней тетраэдра).

Высота тетраэдра — это отрезок, который соединяет вершину и точку противоположной грани и перпендикулярен этой грани (т.е. это высота, проведенная от всякой грани, кроме того, совпадает с центром описанной окружности).

Свойства тетраэдра.

Параллельные плоскости, которые проходят через пары рёбер тетраэдра, что скрещиваются, и определяют описанный параллелепипед около тетраэдра.

Плоскость, которая проходит сквозь середины 2-х рёбер тетраэдра, что скрещиваются, и делит его на 2 части, одинаковые по объему.

Все медианы и бимедианы тетраэдра пересекаются в одной точке. Эта точка делит медианы в отношении 3:1, если считать от вершины. Она же делит бимедианы на две равные части.

Типы тетраэдров.

Правильный тетраэдр — это такая правильная треугольная пирамида, каждая из граней которой оказывается равносторонним треугольником.

У правильного тетраэдра каждый двугранный угол при рёбрах и каждый трёхгранный угол при вершинах имеют одинаковую величину.

Тетраэдр состоит из 4 граней, 4 вершин и 6 ребер.

Правильный тетраэдр — это один из 5-ти правильных многогранников.

Кроме правильного тетраэдра, заслуживают внимания такие типы тетраэдров:

Равногранный тетраэдр, у него каждая грань представляет собой треугольник. Все грани-треугольники такого тетраэдра равны.

Ортоцентрический тетраэдр, у него каждая высота, опущенная из вершин на противоположную грань, пересекается с остальными в одной точке.

Прямоугольный тетраэдр, у него каждое ребро, прилежащее к одной из вершин, перпендикулярно другим ребрам, прилежащим к этой же вершине.

Каркасный тетраэдр — тетраэдр, который таким условиям:

  • есть сфера, которая касается каждого ребра,
  • суммы длин ребер, что скрещиваются равны,
  • суммы двугранных углов при противоположных ребрах равны,
  • окружности, которые вписаны в грани, попарно касаются,
  • каждый четырехугольник, образующийся на развертке тетраэдра, — описанный,
  • перпендикуляры, поставленные к граням из центров окружностей, в них вписанных, пересекаются в одной точке.

Соразмерный тетраэдр, бивысоты у него одинаковы.

Инцентрический тетраэдр, у него отрезки, которые соединяют вершины тетраэдра с центрами окружностей, которые вписаны в противоположные грани, пересекаются в одной точке.

Формулы для определения элементов тетраэдра.

Высота тетраэдра:

где h — высота тетраэдра, a — ребро тетраэдра.

Объем тетраэдра рассчитывается по классической формуле объема пирамиды. В нее нужно подставить высоту тетраэдра и площадь правильного (равностороннего) треугольника.

где V — объем тетраэдра, a — ребро тетраэдра.

Основные формулы для правильного тетраэдра:

Где S — Площадь поверхности правильного тетраэдра;

h — высота, опущенная на основание;

r — радиус вписанной в тетраэдр окружности;

Источник статьи: http://www.calc.ru/1535.html

Тетраэдр

Древние греки дали многограннику имя по числу граней. «Тетра» означает четыре, «хедра» — означает грань (тетраэдр – четырехгранник).

Поэтому на вопрос — «что такое тетраэдр?», можно дать следующее определение: » Тетраэдр это геометрическое тело из четырех граней, каждая их которых — правильный треугольник «.

Многогранник относится к правильным многогранникам и является одним из пяти Платоновых тел .

  • Тип грани – правильный треугольник;
  • Число сторон у грани – 3;
  • Общее число граней – 4;
  • Число рёбер, примыкающих к вершине – 3;
  • Общее число вершин – 4;
  • Общее число рёбер – 6;

Правильный тетраэдр составлен из четырех равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной трех треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 180°.
Тетраэдр не имеет центра симметрии, но имеет 3 оси симметрии и 6 плоскостей симметрии.

Является ли тетраэдр пирамидой? Да, тетраэдр это треугольная пирамида у которой все стороны равны.

Может ли пирамида быть тетраэдром? Только если это пирамида с треугольным основанием и каждая из её сторон равносторонний треугольник.

Отметим, что очень редко, но встречаются геометрические тела, составленные не из правильных треугольников, и их тоже называют тетраэдры, так как они имеют четыре грани.

Математические характеристики тетраэдра

Тетраэдр может быть помещен в сферу (вписан), так, что каждая из его вершин будет касаться внутренней стенки сферы.

Радиус описанной сферы тетраэдра определяется по формуле:

Сфера может быть вписана внутрь тетраэдра.

Радиус вписанной сферы тетраэдра определяется по формуле:

Площадь поверхности тетраэдра

Для наглядности, площадь поверхности тетраэдра можно представить в виде площади развёртки. Площадь поверхности можно определить как площадь одной из сторон тетраэдра (это площадь правильного треугольника) умноженной на 4. Либо воспользоваться формулой:

Объем тетраэдра определяется по следующей формуле:

Высота тетраэдра определяется по следующей формуле:

Расстояние до центра основания тетраэдра определяется по формуле:

Вариант развертки

Тетраэдр можно изготовить самостоятельно. Бумага или картон самый подходящий вариант. Для сборки потребуется бумажная развёртка — единая деталь с линиями сгибов.

Древнегреческий философ Платон ассоциировал тетраэдр с «земным» элементом огонь, поэтому для построения модели этого правильного многогранника мы выбрали красный цвет.

Заметим, что это не единственный вариант развертки.

Для построения модели Вы можете скачать развертку в формате pdf и распечатать на листе формата А4:
— если Вы предполагаете распечатать на цветном принтере — цветная развертка
— если Вы предполагаете использовать для сборки цветной картон — развертка

Видео. Тетраэдр из набора «Волшебные грани»

Вы можете изготовить модель тетраэдра воспользовавшись деталями для сборки из набора «Волшебные грани».

Сборка многогранника из набора:

Подробная сборка от Алексея Жигулева (youtube-канал Оригами)

вращение готового многогранника:

Видео. Вращение всех правильных многогранников


Источник статьи: http://mnogogranniki.ru/tetraedr.html

Как найти площадь тетраэдра

Тетраэдром в стереометрии именуется многогранник, тот, что состоит из четырёх треугольных граней. Тетраэдр имеет 6 рёбер и по 4 грани и вершины. Если у тетраэдра все грани являются положительными треугольниками, то и сам тетраэдр именуется положительным. Площадь полной поверхности всякого многогранника, в том числе и тетраэдра дозволено рассчитать, зная площади его граней.

Инструкция

1. Дабы обнаружить площадь полной поверхности тетраэдра, нужно вычислить площадь треугольника составляющего его грань.Если треугольник равносторонний, то его площадь равнаS = ?3 * 4 / a?, где a – ребро тетраэдра,тогда площадь поверхности тетраэдра находится по формулеS = ?3 * a?.

2. В случае, если тетраэдр является прямоугольным, т.е. все плоские углы при одной из его вершин являются прямыми, то площади трёх его граней являющихся прямоугольными треугольниками дозволено рассчитать по формулеS = a * b *1/2,S = a * c *1/2,S = b * c *1/2,площадь третьей грани дозволено рассчитать по одной из всеобщих формул для треугольников, скажем по формуле ГеронаS = ?(p * (p – d) * (p – e) * (p – f)), где p = (d + e + f)/2 – полупериметр треугольника.

3. В всеобщем случае, площадь всякого тетраэдра дозволено рассчитать, применяя формулу Герона для вычисления площадей всей его грани.

Совет 2: Как обнаружить объем положительного тетраэдра

Тетраэдр является одним из пяти существующих положительных многогранников, т.е. многогранников гранями которых являются положительные многоугольники. Тетраэдр состоит из четырёх граней являющимися равносторонними треугольниками, шести рёбер и четырёх вершин.

Инструкция

1. Рассчитать объём положительно тетраэдра дозволено как по всеобщим формулам для тетраэдров, так и по формуле для верного тетраэдра.Объём положительного тетраэдра находится по формулеV = ?2/12 * a?, где a – длина ребра тетраэдра.

2. Объём тетраэдра так же дозволено вычислить по дальнейшим формулам.V = 1/3 * S * h, где S – площадь грани тетраэдра, h – высота опущенная на эту грань.V = sin?? * 2/3 * (S? * S?)/AB, где S? и S? – площади граней ? и ?, sin?? – угол между гранями ? и ?

3. Если тетраэдр задан координатами своих вершин в декартовой системе координат – r1(x1, y1, z1), r2(x2, y2, z2), r3(x3, y3, z3), r4(x4, y4, z4), то её объём дозволено рассчитать по формуле, приведённой на рисунке.

Источник статьи: http://jprosto.ru/kak-nayti-ploschad-tetraedra/


Adblock
detector