Меню

Что такое среднеквадратическое отклонение и как его найти



Как найти среднеквадратическое отклонение

В данной статье я расскажу о том, как найти среднеквадратическое отклонение. Этот материал крайне важен для полноценного понимания математики, поэтому репетитор по математике должен посвятить его изучению отдельный урок или даже несколько. В этой статье вы найдёте ссылку на подробный и понятный видеоурок, в котором рассказано о том, что такое среднеквадратическое отклонение и как его найти.

Среднеквадратическое отклонение дает возможность оценить разброс значений, полученных в результате измерения какого-то параметра. Обозначается символом (греческая буква «сигма»).

Формула для расчета довольно проста. Чтобы найти среднеквадратическое отклонение, нужно взять квадратный корень из дисперсии. Так что теперь вы должны спросить: “А что же такое дисперсия?”

Что такое дисперсия

Определение дисперсии звучит так. Дисперсия — это среднее арифметическое от квадратов отклонений значений от среднего.

Чтобы найти дисперсию последовательно проведите следующие вычисления:

  • Определите среднее (простое среднее арифметическое ряда значений).
  • Затем от каждого из значений отнимите среднее и возведите полученную разность в квадрат (получили квадрат разности).
  • Следующим шагом будет вычисление среднего арифметического полученных квадратов разностей (Почему именно квадратов вы сможете узнать ниже).

Рассмотрим на примере. Допустим, вы с друзьями решили измерить рост ваших собак (в миллиметрах). В результате измерений вы получили следующие данные измерений роста (в холке): 600 мм, 470 мм, 170 мм, 430 мм и 300 мм.

Порода собаки Рост в миллиметрах
Ротвейлер 600
Бульдог 470
Такса 170
Пудель 430
Мопс 300

Вычислим среднее значение, дисперсию и среднеквадратическое отклонение.

Сперва найдём среднее значение. Как вы уже знаете, для этого нужно сложить все измеренные значения и поделить на количество измерений. Ход вычислений:

Среднее мм.

Итак, среднее (среднеарифметическое) составляет 394 мм.

Теперь нужно определить отклонение роста каждой из собак от среднего:

Наконец, чтобы вычислить дисперсию, каждую из полученных разностей возводим в квадрат, а затем находим среднее арифметическое от полученных результатов:

Дисперсия мм 2 .

Таким образом, дисперсия составляет 21704 мм 2 .

Как найти среднеквадратическое отклонение

Так как же теперь вычислить среднеквадратическое отклонение, зная дисперсию? Как мы помним, взять из нее квадратный корень. То есть среднеквадратическое отклонение равно:

мм (округлено до ближайшего целого значения в мм).

Применив данный метод, мы выяснили, что некоторые собаки (например, ротвейлеры) – очень большие собаки. Но есть и очень маленькие собаки (например, таксы, только говорить им этого не стоит).

Самое интересное, что среднеквадратическое отклонение несет в себе полезную информацию. Теперь мы можем показать, какие из полученных результатов измерения роста находятся в пределах интервала, который мы получим, если отложим от среднего (в обе стороны от него) среднеквадратическое отклонение.

То есть с помощью среднеквадратического отклонения мы получаем “стандартный” метод, который позволяет узнать, какое из значений является нормальным (среднестатистическим), а какое экстраординарно большим или, наоборот, малым.

Что такое стандартное отклонение

Но… все будет немного иначе, если мы будем анализировать выборку данных. В нашем примере мы рассматривали генеральную совокупность. То есть наши 5 собак были единственными в мире собаками, которые нас интересовали.

Но если данные являются выборкой (значениями, которые выбрали из большой генеральной совокупности), тогда вычисления нужно вести иначе.

Если есть значений, то:

  • Когда мы имеем дело с генеральной совокупностью при вычислении дисперсии, мы делим на (как и было сделано в рассмотренном нами примере).
  • Когда мы имеем дело с выборкой, при вычислении дисперсии делим на .

Все остальные расчеты производятся аналогично, в том числе и определение среднего.

Например, если наших пять собак – только выборка из генеральной совокупности собак (всех собак на планете), мы должны делить на 4, а не на 5, а именно:

Дисперсия выборки = мм 2 .

При этом стандартное отклонение по выборке равно мм (округлено до ближайшего целого значения).

Можно сказать, что мы произвели некоторую “коррекцию” в случае, когда наши значения являются всего лишь небольшой выборкой.

Примечание. Почему именно квадраты разностей?

Но почему при вычислении дисперсии мы берём именно квадраты разностей? Допустим при измерении какого-то параметра, вы получили следующий набор значений: 4; 4; -4; -4. Если мы просто сложим абсолютные отклонения от среднего (разности) между собой … отрицательные значения взаимно уничтожатся с положительными:

.

Получается, этот вариант бесполезен. Тогда, может, стоит попробовать абсолютные значения отклонений (то есть модули этих значений)?

.

На первый взгляд получается неплохо (полученная величина, кстати, называется средним абсолютным отклонением), но не во всех случаях. Попробуем другой пример. Пусть в результате измерения получился следующий набор значений: 7; 1; -6; -2. Тогда среднее абсолютное отклонение равно:

.

Вот это да! Снова получили результат 4, хотя разности имеют гораздо больший разброс.

А теперь посмотрим, что получится, если возвести разности в квадрат (и взять потом квадратный корень из их суммы).

Для первого примера получится:

.

Для второго примера получится:

.

Теперь – совсем другое дело! Среднеквадратическое отклонение получается тем большим, чем больший разброс имеют разности … к чему мы и стремились.

Фактически в данном методе использована та же идея, что и при вычислении расстояния между точками, только примененная иным способом.

И с математической точки зрения использование квадратов и квадратных корней дает больше пользы, чем мы могли бы получить на основании абсолютных значений отклонений, благодаря чему среднеквадратическое отклонение применимо и для других математических задач.

О том, как найти среднеквадратическое отклонение, вам рассказал репетитор по математике в Москве, Сергей Валерьевич

Источник статьи: http://yourtutor.info/%D1%81%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%BD%D0%B5%D0%BA%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B5-%D0%BE%D1%82%D0%BA%D0%BB%D0%BE%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5

Среднеквадратичное отклонение

Нужно подобрать материалы для студенческой работы?

Что такое среднеквадратичное отклонение

Рассматривая какие-либо величины или их изменения, используют такие критерии как среднеарифметическая величина и ее отклонение. Различные понятия позволяют оценить разброс измеряемой величины и ее отклонение. К ним относится абсолютная погрешность, которая показывает насколько каждая конкретная величина отличается от среднего значения. Но так как сумма всех абсолютных погрешностей равна нулю, то этот критерий не позволяет показать разброс измеряемых величин. И для решения этой задачи был введен новый показатель — среднее квадратичное отклонение.

Для того чтобы объяснить его смысл необходимо вспомнить некоторые основные математические понятия.

Средней величиной или средним арифметическим называется число, полученное в результате деления суммы всех величин на их количество.

Среднеарифметическое для 3 чисел b1, b2 и b3 определяется как:

Со средней величиной непосредственно связана и другая характеристика — математическое ожидание.

Значение среднего арифметического некоторого множества при стремлении его членов к бесконечности называется математическим ожиданием (М).

А оценкой математического ожидания является среднее арифметическое определенного числа измерений изучаемой величины.

Вариантой или абсолютной погрешностью называется разность измеряемой величины со средним значением.

Она обозначается греческой буквой D. Для того чтобы найти варианту единичного измерения ai следует отнять от ее значение среднее арифметическое:

Также для оценки единичного измерения используется и относительная погрешность, значение которой выражается в процентах. Ее вычисление проводят по формуле:

Относительная погрешность каждой величины позволяет отбросить из вариации измерений значения с очень большой погрешностью и проводить дальнейший анализ только величин с незначительной относительной погрешностью.

Характеристикой распределения значений некоторой измеряемой величины является дисперсия (D).

Дисперсией называется среднее арифметическое квадратов всех абсолютных погрешностей.

Теперь можно дать определение и «среднеквадратичному отклонению».

Значение корня квадратного из дисперсии случайной величины называется среднеквадратичным отклонением и обозначается «ϭ».

Оно вычисляется по формуле:

Единицей измерения среднеквадратического отклонения является единица измерения исследуемой величины. Данный критерий используется при измерении линейной функции, статической проверки гипотезы, расчете стандартной ошибки среднего арифметического, а также при построении доверительных интервалов.

Как найти среднеквадратическое отклонение

Вычисление среднеквадратичного отклонения на первый взгляд может показаться достаточно сложным и запутанным. Но этот процесс можно облегчить, если воспользоваться следующим алгоритмом действий:

  1. Найти среднее арифметическое всех членов множества.
  2. Для каждого элемента вычислить варианту.
  3. Сложить все полученные на предыдущем этапе значения.
  4. Разделить число, полученное при выполнении третьего шага, на количество элементов множества.
  5. Из полученного в предыдущем шаге числа извлечь корень квадратный.

Формула, примеры решения задач

Для четырех измеренных значений величины b формула среднеквадратичного отклонения будет выглядеть следующим образом:

где Db1 — Db4 являются абсолютными погрешностями каждой исследуемой величины.

Рассмотрим пример решения конкретной задачи.

При проведении лабораторной работы по физике школьники несколько раз измерили напряжение электрического тока и получили следующие значения:

Необходимо рассчитать погрешности (абсолютные и относительные) каждого измерения, дисперсию и среднеквадратическое отклонение.

Определим среднее арифметическое значение напряжения в данной работе:

Теперь рассчитаем для каждого полученного измерения абсолютную и относительную погрешности. Так как абсолютная погрешность определяется как разница между средним арифметическим и полученным значением, то

(triangle U_1=0.024\triangle U_2=-0.056\triangle U_3=-0.026\triangle U_4=0.014\triangle U_5=0.044)

Находим относительную погрешность:

Зная абсолютные погрешности несложно вычислить дисперсию:

Теперь можно вычислить среднеквадратичное отклонение:

Источник статьи: http://wiki.fenix.help/matematika/srednekvadratichnoye-otkloneniye


Adblock
detector