Меню

Что такое сектор круга и как его найти



Что такое сектор круга и как его найти

Круг — это часть плоскости, ограниченная окружностью. Центр данной окружности называется центром круга, а расстояние от центра до любой точки окружности — радиусом круга:

O — центр круга, OA — радиус круга.

Площадь круга

Площадь круга равна произведению числа π на квадрат радиуса. Формула нахождения площади круга:

где S — площадь круга, а r — радиус круга.

Так как диаметр круга равен удвоенному радиусу, то радиус равен диаметру, разделённому на 2:

Следовательно, формула нахождения площади круга через диаметр будет выглядеть так:

S = π( D ) 2 = π D 2 = π D 2 .
2 2 2 4

Сектор круга. Площадь сектора

Сектор — это часть круга, ограниченная двумя радиусами и дугой. Два радиуса разделяют круг на два сектора:

Чтобы найти площадь сектора, дуга которого содержит , надо площадь круга разделить на 360 и полученный результат умножить на n.

S = πr 2 · n = πr 2 n ,
360 360

где S — площадь сектора. Выражение

можно представить в виде произведения

πr 2 n = n · πr · r ,
360 180 2

где nπr — это длина дуги сектора.
180

Следовательно, площадь сектора равна длине дуги сектора, умноженной на половину радиуса:

где S — это площадь сектора, s — длина дуги данного сектора, r — радиус круга.

Сегмент. Площадь сегмента

Сегмент — это часть круга, ограниченная дугой и стягивающей её хордой. Любая хорда делит круг на два сегмента:

Площадь сегмента равна половине радиуса, умноженной на разность между дугой сегмента и половиной хорды двойной дуги.

Площадь сегмента AMB будет вычисляться по формуле:

где S — это площадь сегмента, r — радиус круга, s — длина дуги AB, а BC — длина половины хорды двойной дуги.

Источник статьи: http://izamorfix.ru/matematika/planimetriya/krug.html

Нахождение площади сектора круга

В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно вычислить площадь сектора круга, а также разберем примеры решения задач для демонстрации их практического применения.

Определение сектора круга

Сектор круга – это часть круга, образованная двумя его радиусами и дугой между ними. На рисунке ниже сектор закрашен зеленым цветом.

  • AB – дуга сектора;
  • R (или r) – радиус круга;
  • α – это угол сектора, т.е. угол между двумя радиусами. Также его иногда называют центральным углом.

Формулы нахождения площади сектора круга

Через длину дуги и радиус круга

Площадь (S) сектора круга равняется одной второй произведения длины дуги сектора (L) и радиуса круга (r).

Через угол сектора (в градусах) и радиус круга

Площадь (S) сектора круга равняется площади круга, умноженной на угол сектора в градусах ( α°) и деленной на 360°.

Через угол сектора (в радианах) и радиус круга

Площадь (S) сектора круга равняется половине произведения угла сектора в радианах (aрад) и квадрата радиуса круга.

Примеры задач

Задание 1
Дан круг радиусом 6 см. Найдите площадь сектора, если известно, что длина его дуги составляет 15 см.

Решение
Воспользуемся первой формулой, подставив в нее заданные значения:

Задание 2
Найдите угол сектора, если известно, что его площадь равна 78 см 2 , а радиус круга – 8 см.

Решение
Выведем формулу для нахождения центрального угла из второй формулы, рассмотренной выше:

Источник статьи: http://microexcel.ru/ploshad-sektora/

Площадь сектора круга — формулы и примеры расчетов

Выполняя инженерные расчёты при проектировании различных объектов строительства, создании роботов, автоматизированных систем, станков, машин, самолётов, ракет, современных средств вооружения часто бывает необходимо найти площадь сектора круга.

Геометрия помогает при этом решать задачи на нахождение центра тяжести (центр масс), вычислять его координаты для плоских пластин, имеющих, в частности, форму правильного многоугольника.

Измерять и вычислять величины считается базовым умением. Оно включено в первую часть профильной программы выпускного экзамена ЕГЭ и ОГЭ по математике.

Сектор круга

Существует несколько определений, каждое из которых отличается только формулировкой, не меняющей подход к рассмотрению понятия:

Часть плоскости, ограниченная центральным углом и соответствующей дугой окружности.

Часть круга, заключённая между двумя радиусами.

Часто эту формулировку заменяют похожей, описывающей построение непосредственно: часть круга, лежащего внутри соответствующего центрального угла.

Площадь сектора круга через радиус и длину дуги

Пусть известны радиус круга R, длина дуги l. Как в этом случае определить площадь сектора, стягиваемого данной дугой?

Для ответа на вопрос понадобится формула нахождения длины окружности:

Определение, представленное через третью формулировку, даёт возможность соотнести численные величины понятий: сектор и круг, дуга и окружность, центральный и полный углы.

Поскольку отношения постоянны, то для ответа на поставленный вопрос достаточно найти отношение части к целому, затем умножить полученный результат на площадь круга S = πR 2 .

После сокращения дроби получают формулу:

Примеры решения задач

Задача №1

Найти площадь сектора круга радиусом 2 см, имеющего длину дуги 4 см.

Подставляя имеющиеся величины в формулу, получаем:

Задача №2

Подставив известные данные в формулу, получим:

Тот же результат получился бы при первоначальной работе в «общем виде»:

Площадь сектора круга через радиус и угол сектора

Если известна градусная мера центрального угла (n°), то, находя отношение её к полному кругу (к 360º), также умножают результат на площадь круга:

Задача №3

Чему равна площадь фигуры, изображённой на рисунке?

Центральный угол изображённого сектора равен

Подставляя в формулу величины, несложно получить искомый результат:

Также аналогичным образом решаются обратные задачи.

Площадь сектора круга через угол сектора в радианах

Пусть центральный угол задан своей радианной мерой. Учитывая, что

несложно получить искомую формулу:

Задача №4

Чему равен центральный угол сектора в радианах (рад.), если его площадь равна 32, а радиус – 4?

Выразив α, затем подставив числовые данные, легко получить результат:

Благодаря этой формуле, несложно доказать, что площади двух секторов с равными центральными углами относятся как квадраты радиусов соответствующих окружностей:

С другой стороны, площадь части кольца находится из условия:

Сегмент круга

Существует два подхода к определению понятия:

Геометрическая фигура, являющаяся общей частью круга и полуплоскости, называется сегментом круга.

Часть плоскости, заключённая между хордой и окружностью.

Оба определения характеризуют один и тот же объект с разных сторон, выражая, по сути одно и то же.

Иногда проводится описательное построение. В этом случае второй вариант быстрее приводит к данному термину.

Площадь сегмента круга по хорде и высоте

Пусть градусная мера ограничивающей дуги мала, длина хорды равна a, h — высота сегмента (перпендикуляр, опущенный из точки на окружности к середине хорды). Примечание: часто высота сегмента называется «стрелкой».

Тогда можно приближённо считать, что

Погрешность такого вычисления уменьшается вместе с отношением

В частности, когда дуга содержит угол, меньший 50º, то есть,

погрешность оказывается менее 1%.

Более точной является формула для любого сегмента меньшего полукруга:

Точный расчёт производится, исходя из свойства нахождения сложной фигуры, являющейся суммой или разностью двух и более объектов.

Сегмент является частью сектора, к которому либо добавлен треугольник, содержащий центральный угол (для дуг больших 180º), либо убран (соответствующий центральный угол меньше 180º).

Задача №5

Вычислить стрелку и площадь сегмента, если центральный угол содержит 60º, а

Для нахождения стрелки достаточно из радиуса вычесть высоту треугольника AOB. Поскольку угол AOB по условию равен 60º, то треугольник AOB равносторонний. Поэтому его высота в √3/2 раз отличается от стороны (от радиуса).

Площадь по первой формуле будет приблизительно равна

Источник статьи: http://nauka.club/matematika/geometriya/ploshchad-sektora-kruga.html


Adblock
detector