Меню

Что такое промежутки монотонности функции и как их найти



Промежутки монотонности функции

Опр.: Функция называется возрастающей на некотором промежутке, если в этом промежутке каждому большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Опр.: Функция называется убывающей на некотором промежутке, если в этом промежутке каждому большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Как возрастающие. так и убывающие функции называются монотонными.

Если функция не является монотонной, то область ее определения можно разбить на конечное число промежутков монотонности, которые могут чередоваться с промежутками постоянства функции.

Монотонность функции y = f(x) характеризуется знаком ее первой производной f ¤ (x), а именно, если в некотором промежутке f ¤ (x) > 0, то функция возрастает в этом промежутке, если в некотором промежутке f ¤ (x) ¤ (x).

Отсюда получаем правило для нахождения промежутков монотонности функции y = f(x)

1. Найти нули и точки разрыва f ¤ (x).

2. Определить методом проб знак f ¤ (x) в промежутках, на которые полученные в п.1 точки делят область определения функции f(x).

Найти промежутки монотонности функции у = — х 2 + 10х + 7

Данная функция определена на всей числовой оси., т.е. D(y) = R

Точек разрыва производная y¢ не имеет;

Найдем точки, в которых y¢ = 0

Точка, в которой y¢ = 0 одна и она делит область определения функции на следующие промежутки: (– ∞,5) И (5 ,+ ∞), в каждом из которых y¢ сохраняет постоянный знак. Подставим в эти промежутки конкретные значения функции и определим знак y¢ на указанных промежутках, тогда:

Точки максимума и минимума функции называются точками ее экстремума.

Точка экстремума могут служить только критические точки 1-го рода., т.е. точки принадлежащие области определения функции в которых f ¤ (x) = 0 или терпит разрыв.

Точками экстремума являются лишь те из критических точек, при переходе через которые первая производная меняет знак. А именно:

Если при переходе через критическую точку x0 в положительном направлении f ¤ (x) меняет знак с + на — , то точка x0 есть точка максимума, если при переходе через критическую точку x0 в положительном направлении f ¤ (x) меняет знак с — на + , то точка x0 есть точка минимума.

Исследовать функцию на монотонность, найти экстремумы функции.

Данная функция определена на всей числовой оси., т.е. D(y) = R

Найдем f ¤ (x). y¢ = 3 х 2 –12х +9

Точек разрыва производная y¢ не имеет;

Найдем точки, в которых y¢ = 0

3 х 2 –12х +9 =0 Найдем корни этого уравнения

y¢ обращается в 0 при х1 = 1, х2 = 3,

Точки, в которой y¢ = 0 делят область определения функции на следующие промежутки:

(– ∞,1), [1,3] И (3 ,+ ∞), в каждом из которых y¢ сохраняет постоянный знак. Подставим в эти промежутки конкретные значения функции и определим знак y¢ на указанных промежутках, тогда:

Следовательно на промежутках (– ∞,1]и[3 ,+ ∞) функция возрастает, а на промежутке [1,3]функция убывает.

Точка х=1 является точкой максимума функции. Точка х=3 является точкой минимума функции.

Найдем значения умах и умin функции. Для этого подставим в формулу функции значения х=3 и х=1

Источник статьи: http://helpiks.org/8-55277.html

Функция. Промежутки монотонности функций.

Промежутки монотонности функции y = f (x) — это такие интервалы значений аргумента х, при которых функция y = f (x) возрастает либо убывает.

Для определения промежутков монотонности функции f(x) требуется:

2) выполнить расчет производной для выбранной функции;

3) узнать критические точки при условии равенства нулю производной f `(x) = 0 либо при условии, что производная f `(x) не существует;

4) поделить критическими точками область определения на сегменты, в каждом из которых выяснить знак производной.

На интервалах где производная положительная функция возрастает, а где отрицательная — убывает.

Исследуем функцию y = x 3 на монотонность на всей числовой прямой.

Делаем вывод, функция y = x 3 возрастает на всей действительной оси.

Источник статьи: http://www.calc.ru/Funktsiya-Promezhutki-Monotonnosti-Funktsiy.html

Монотонность функции — свойства, признаки и примеры решений

Общие сведения

Функцией вида р = f(r) называется зависимость ее значения от переменной величины «r» или аргумента. Функциональные тождества бывают простыми и сложными. К первым относится класс выражений, состоящих из одной переменной простого типа. Во втором случае содержится несколько аргументов или аргумент является также функцией, т. е. подчиняется определенному закону.

Монотонной называется функция, постоянно убывающая или возрастающая на заданном промежутке. Если она постоянно убывает или возрастает, то считается строго монотонной. Пусть дана функция р = f(r). Она дифференцируема на некотором интервале (а;b), является возрастающей или убывающей, когда справедливы равенства f(r1) = f(r2) соответственно. Кроме того, нужно учитывать, что r1 =» следует заменить на строгий « »: f(r1) f(r2) соответственно. Вышеописанные понятия можно записать математическим способом, который считается более компактным:

  1. Возрастающая: ∀ r1, r2 ∈ (a;b): r1 r2 ⇒ f(r1) >= f(r2).
  2. Строго убывающая: ∀ r1, r2 ∈ (a;b): r1 > r2 ⇒ f(r1) > f(r2).

Следует отметить, что промежутками монотонности функции называются интервалы, на которых она возрастает или убывает. После определений необходимо рассмотреть основные теоремы, позволяющие использовать соотношения для решения различных задач.

Теорема о пределе

Теорема о пределе монотонной функции применяется для решения задач по высшей математике с использованием пределов. Ее формулировка следующая: если функция вида р = f(r) является дифференцируемой и монотонной на интервале (а;b), то в точке r0, принадлежащей заданному интервалу, она имеет конечные пределы с левой и правой стороны, а в точках r0 = a и r0 = b у нее существуют правосторонние и левосторонние границы.

Чтобы доказать утверждение, следует задать некоторую функцию, которая является монотонной. Кроме того, она должна возрастать на некотором интервале [а;b]. После этого нужно выбрать любую точку r0 ∈ (a;b]. В результате этого для ∀ r ∈ [a;r0) ⇒ f(r) 0 ∃ q > 0 для r ∈ (t;r0): М — е r0 — 0) = M. Отсюда следует такое соотношение: f(r0 — 0) = sup f(r), a r0 — 0) r0 + 0) = f(r0 + 0).

  • Убывание: f(r0 — 0) = lim [f(r)] |(r -> r0 — 0) >= lim [f(r)] |(r -> r0 + 0) = f(r0 + 0).
  • Чтобы понять математические обозначения sup и inf, необходимо представить множество значений функции. Первый термин обозначает максимальное значение сверху, а второй — минимальное снизу.

    Критерии возрастания и убывания

    Существуют определенные признаки, по которым можно определить монотонность функции p = f(r) на некотором интервале (а;b). Для этого в математике есть еще три теоремы:

    • Для убывающей и возрастающей.
    • Если является строго убывающей или строго возрастающей.
    • Определение по точке, производной и интервалу.

    Первая теорема имеет такую формулировку: дифференцируемая функция p = f(r) на интервале (а;b) является убывающей, когда выполняется неравенство f'(r) = 0 соответственно (при r ∈ данному интервалу).

    Формулировка следующего утверждения только для строго возрастающей монотонной функции. В первом случае должно выполняться не одно, а два условия: f'(r) > 0 и f'(r) тождественно не эквивалентна нулю на промежутке в любой точке, принадлежащей интервалу. Для строго убывающей условия немного отличаются от предыдущих: f'(r) 0.

    Основные свойства

    Для функций на интервале (а;b) существуют некоторые утверждения, позволяющие исследовать составные выражения, а также решать различные задачи. К свойствам монотонных функций относятся следующие:

    • Сумма двух убывающих (возрастающих) k = f(t) и l = f(v) является возрастающим (убывающим) выражением.
    • Если k = f(t) возрастает, то -k = f(t) (противоположная) будет убывать. При убывании первой вторая будет возрастать соответственно.
    • Когда у k = f(t) есть обратная вида k2 = 1 / f(t), тогда при убывании первой вторая будет возрастать. Если первая возрастает, то вторая убывает.
    • Результатом произведения двух убывающих (возрастающих) является убывающая функция. Также должны выполняться такие условия: k = f(t) >= 0 и l = f(v) >= 0.
    • Если k = f(t) возрастает или убывает на (а;b), а l = f(t) возрастает или убывает на (c;d), и (а;b) входит в (c;d), то композиция функций к∘ l (k(l(t))) также возрастает или убывает.

    После изучения теорем и основных свойств нужно определить минимум базовых знаний, которые необходимы для исследования на монотонность любого выражения. Кроме того, следует знать графики некоторых функций. Для их построения можно использовать специальные онлайн-калькуляторы и программы, позволяющие выделять результаты разными цветами.

    Базовые знания

    Для исследования функции на монотонность специалисты рекомендуют руководствоваться некоторыми правилами, которые объединяются в универсальный алгоритм. Он является достаточным для выполнения такого задания и имеет следующий вид:

    • Найти производную первого порядка — f'(r).
    • Приравнять выражение, полученное в первом пункте, к 0.
    • Найти критические точки, решив уравнение во втором пункте.
    • Определить знак f'(r) на промежутках, полученных в результате разбиения критическими точками. Найти промежутки убывания и возрастания.

    Последний пункт следует реализовывать при помощи таблицы. Необходимо строго придерживаться алгоритма, поскольку неверные действия способны существенно повлиять на результат.

    Нахождение производной

    Для поиска производной необходимо выполнить такие шаги: вынести константу, упростить выражение и воспользоваться таблицей дифференциалов элементарных функций (рис. 1). Первые два элемента считаются подготовительными, поскольку позволяют оптимизировать процесс вычисления. Для упрощения следует применять формулы сокращенного умножения, свойства дробей, разложение на множители и т. д. После приведения выражения к упрощенному виду нужно воспользоваться таблицей производных элементарных функций.

    Рисунок 1. Дифференциалы простых выражений.

    Однако при решении задач не всегда попадаются простые выражения. Для составных существуют определенные правила:

    • Сумма: [k(t) + l(t)]’ = k'(t) + l'(t).
    • Разность: [k(t) — l(t)]’ = k'(t) — l'(t).
    • Произведение: [k(t) * l(t)]’ = k'(t) * l(t) + l'(t) * k(t).
    • Частное: [k(t) / l(t)]’ = [k'(t) * l(t) — l'(t) * k(t)] / (l(t))^2.
    • Сложная: [k(l(t))]’ = l'(t) * k'(t).

    Специалисты рекомендуют для проверки использовать программы, но это не значит, что задачи должны решаться только с помощью онлайн-сервисов и математических пакетов.

    Корни уравнений и критические точки

    Следующим этапом является решение равенства с неизвестным. Необходимо отметить, что уравнения делятся на следующие виды: линейные, квадратные, кубические, биквадратные, тригонометрические, логарифмические, степенные, показательные и иррациональные.

    Первый тип решается по очень простому алгоритму: следует перенести неизвестные в одну часть, а известные — в другую. Для решения квадратного уравнения (aw^2 + bw + c = 0) нужно его упростить, разложить на множители или вычислить дискриминант. Последний вычисляется по следующей формуле: D = b^2 — 4ac. Количество корней зависит от значения D и определяется по таким формулам:

    1. Два решения при D > 0: w1 = (-b — [D]^(1/2)) / 2a и w2 = (-b + [D]^(1/2)) / 2a.
    2. D = 0 (одно): w = (-b) / 2a.
    3. Нет корней, когда D

    Источник статьи: http://nauka.club/matematika/algebra/monotonn%D0%B0y%D0%B0-funktsi%D1%83%D0%B0.html


    Adblock
    detector