Меню

Что такое проекция вектора на ось и как ее найти



Проекция вектора на ось. Проекция вектора на вектор

Формула вычисления проекции вектора на вектор

Для вычисления проекции вектора a на направление вектора b из определения скалярного произведения получена формула:

Примеры задач на проекцию вектора

Примеры вычисления проекции вектора для плоских задач

Найдем скалярное произведение этих векторов

a · b = 1 · 3 + 2 · 4 = 3 + 8 = 11

| b | = √ 3 2 + 4 2 = √ 9 + 16 = √ 25 = 5

Найдем проекцию вектора a на вектор b

Пр b a = a · b = 11 = 2.2
| b | 5

Примеры вычисления проекции вектора для пространственных задачи

Найдем скалярное произведение этих векторов

a · b = 1 · 4 + 4 · 2 + 0 · 4 = 4 + 8 + 0 = 12

| b | = √ 4 2 + 2 2 + 4 2 = √ 16 + 4 + 16 = √ 36 = 6

Найдем проекцию вектора a на вектор b

Пр b a = a · b = 12 = 2
| b | 6

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Источник статьи: http://ru.onlinemschool.com/math/library/vector/projection/

Проекция вектора на ось

Вектор может отбрасывать тень (проекцию) на какую-нибудь ось

  • вектор параллелен оси, то «его проекция = его длина», пример для вектора ( vec );
  • вектор перпендикулярен оси, то его проекция равна нулю, пример для вектора ( vec );
  • проекция направлена против оси, то её записывают со знаком «-», пример для вектора ( vec ).
  • чем больше вектор наклоняется к оси, тем больше его проекция на эту ось. Сравните проекции векторов ( vec ) и ( vec ).

Длина вектора – это положительная величина, а проекция вектора может быть отрицательной

Как разложить вектор на проекции

Мы уже находили длину и направление вектора по его координатам.

Теперь решим обратную задачу: пользуясь длиной и направлением вектора, найдем его координаты.

На плоскости (две оси) легко разложить вектор на проекции, если известны:

  • длина вектора и
  • угол между вектором и какой-либо осью (угол обозначается дугой).

Алгоритм действий для разложения вектора на проекции

  1. Проводим прямоугольник так, чтобы вектор стал его диагональю.
  2. Диагональ разделит прямоугольник на треугольники. Эти два треугольника прямоугольные.
  3. Выберем треугольник, в котором угол отмечен дугой.
  4. Дуга одним своим концом всегда касается гипотенузы, а вторым концом – одного из катетов.

Важно! Вектор, который мы раскладываем, всегда является гипотенузой.

Формулы разложения вектора на проекции

Формулы разложения легко запомнить с помощью фразы:

Гипотенузу умножаем на косинус (угла), получаем катет, который касается (дуги).

На языке математики эта фраза запишется так:

Катет ( m_ ) – это «x» координата вектора.

Если длину вектора умножим на синус, то получим второй катет:

Катет ( m_ ) – это «y» координата вектора.

Обе формулы запишем в виде системы:

[ large boxed left|vecright| cdot cos(alpha) = m_ \ left|vecright| cdot sin(alpha) = m_ end> ]

Величина ( |vec| ) — это длина вектора ( vec )

Источник статьи: http://formulki.ru/vektory/proektsiya-vektora-na-os

Проектирование векторов на оси

Нахождение проекций векторов — самое частое, что делают с векторами. Почему? Потому что так с ними намного удобнее работать. Что такое проекция вектора на ось? По-простому — это «тень» , которую отбрасывает вектор на ось.

Найти проекцию вектора на некоторую ось очень просто:

  • надо опустить перпендикуляры из начала и из конца вектора на ось, получив координаты начала и конца вектора;
  • надо из координаты конца вектора вычесть координату начала вектора.

Все. Очень просто. Проекция вектора на ось может быть положительной, отрицательной и нулевой. Проекция вектора a ⃗ vec a ⃗ из предыдущей картинки положительна — потому что координата конца больше, чем координата начала.

На рисунке показано перемещение материальной точки.

Найдите проекцию вектора перемещения на ось О Х ОХ О Х .

Теперь найдите проекцию того же вектора перемещения на ось O Y OY O Y .

Проектирование вектора на ось, когда задан угол между вектором и осью

Очень часто (а вернее — почти всегда) бывает так, что задан угол между вектором и осью, а также длина вектора, а на оси нет никаких обозначений координат. Тогда проекцию вектора ищут с помощью косинуса или синуса. Рассмотрим все на конкретном примере.

Пусть у нас есть вектор a ⃗ vec a ⃗ .

Из конца вектора опускаем перпендикуляры на оси X X X и Y Y Y .

Получается прямоугольник. Стороны этого прямоугольника и есть проекции вектора a ⃗ vec a ⃗ : a x a_ a x ​ и a y a_ a y ​ .

Видно, что у нас получился прямоугольный треугольник.

Его стороны как раз проекции нашего вектора. Наверняка вы помните (а тем, кто не помнит, я напоминаю), что в прямоугольном треугольнике

В нашем треугольнике то же самое:

Проекция на прилежащую ось — это умножение на косинус .
Проекция на противолежащую ось — это умножение на синус .

Мальчик бросил камень со скоростью V ⃗ vec V ⃗ под углом α alpha α к горизонту.

Чему равна проекция скорости на горизонтальную ось (ось X X X )?

Составьте правильную формулу.

В той же задаче чему равна проекция скорости на вертикальную ось (ось Y Y Y )?

Источник статьи: http://lampa.io/p/%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5-%D0%B2%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BE%D0%B2-%D0%BD%D0%B0-%D0%BE%D1%81%D0%B8-000000007ce553864122f9ff43821dd0

Проекция вектора на ось

Пусть задан вектор $overline$ и некоторая ось $l$ с единичным вектором $overline$. Точки $A_<1>$ и $B_<1>$ — проекции точек $A$ и $B$ на ось $l$ соответственно.

Проекцией вектора $overline$ на ось $l$ называется длина отрезка $A_ <1>B_<1>$, взятая со знаком «+», если направление $overline B_<1>>$ совпадает с направлением вектора $overline$, и со знаком «-«, если направление $overline B_<1>>$ противоположно направлению единичного вектора оси $l$ (рис. 1).

Проекция вектора $overline$ на ось $l$ обозначается символом .

Свойства проекции векторов

Проекции равных векторов на одну и туже ось равны.

Вектор $overline$ и его проекция — вектор $overline B_<1>>$ — связаны следующим векторным равенством:

$overline B_<1>>=overline cdot Pi mathrm

_ overline$

Проекция вектора $overline$ на ось $l$ равна произведению модуля этого вектора на косинус угла между ним и положительным направлением оси на некоторую ось $l$:

Источник статьи: http://www.webmath.ru/poleznoe/formules_4_3.php

Проекции векторов на координатные оси

Векторное описание движения является полезным, так как на одном чертеже всегда можно изобразить много разнообразных векторов и получить перед глазами наглядную «картину» движения. Однако всякий раз использовать линейку и транспортир, чтобы производить действия с векторами, очень трудоёмко. Поэтому эти действия сводят к действиям с положительными и отрицательными числами – проекциями векторов.

Проекцией вектора на ось называют скалярную величину, равную произведению модуля проектируемого вектора на косинус угла между направлениями вектора и выбранной координатной оси.

На левом чертеже показан вектор перемещения, модуль которого 50 км, а его направление образует тупой угол 150° с направлением оси X. Пользуясь определением, найдём проекцию перемещения на ось X:

sx = s · cos(α) = 50 км · cos( 150°) = –43 км

Поскольку угол между осями 90°, легко подсчитать, что направление перемещения образует с направлением оси Y острый угол 60°. Пользуясь определением, найдём проекцию перемещения на ось Y:

sy = s · cos(β) = 50 км · cos( 60°) = +25 км

Как видите, если направление вектора образует с направлением оси острый угол, проекция положительна; если направление вектора образует с направлением оси тупой угол, проекция отрицательна.

На правом чертеже показан вектор скорости, модуль которого 5 м/с, а направление образует угол 30° с направлением оси X. Найдём проекции:

υx = υ · cos(α) = 5 м/c · cos( 30°) = +4,3 м/с
υy = υ · cos(β) = 5 м/с · cos( 120°) = –2,5 м/c

Гораздо проще находить проекции векторов на оси, если проецируемые векторы параллельны или перпендикулярны выбранным осям. Обратим внимание, что для случая параллельности возможны два варианта: вектор сонаправлен оси и вектор противонаправлен оси, а для случая перпендикулярности есть только один вариант.

Проекция вектора, перпендикулярного оси, всегда равна нулю (см. sy и ay на левом чертеже, а также sx и υx на правом чертеже). Действительно, для вектора, перпендикулярного оси, угол между ним и осью равен 90°, поэтому косинус равен нулю, значит, и проекция равна нулю.

Проекция вектора, сонаправленного с осью, положительна и равна его модулю, например, sx = +s (см. левый чертёж). Действительно, для вектора, сонаправленного с осью, угол между ним и осью равен нулю, и его косинус «+1», то есть проекция равна длине вектора: sx = x – xo = +s .

Проекция вектора, противонаправленного оси, отрицательна и равна его модулю, взятому со знаком «минус», например, sy = –s (см. правый чертёж). Действительно, для вектора, противонаправленного оси, угол между ним и осью равен 180°, и его косинус «–1», то есть проекция равна длине вектора, взятой с отрицательным знаком: sy = y – yo = –s .

На правых частях обоих чертежей показаны другие случаи, когда векторы параллельны одной из координатных осей и перпендикулярны другой. Предлагаем вам убедиться самостоятельно, что и в этих случаях тоже выполняются правила, сформулированные в предыдущих абзацах.

Источник статьи: http://questions-physics.ru/uchebniki/9_klass/proektsii_vektorov_na_koordinatnie_osi.html


Adblock
detector