Меню

Что такое площадь треугольника и как ее найти



Содержимое

Как найти площадь треугольника – все способы от самых простых до самых сложных

Зависит от того, какой треугольник.

Чтобы найти площадь треугольника, надо сначала определить тип треугольника: прямоугольный, равнобедренный, равносторонний. Если он у вас не такой – отталкивайтесь от других данных: высоты, вписанной или описанной окружности, длин сторон. Привожу все формулы ниже.

Если треугольник прямоугольный

То есть один из его углов равен 90 градусам.

Надо перемножить катеты и поделить на два. Катеты – это две меньшие стороны, в сравнении с гипотенузой. Гипотенуза – это самая длинная сторона, она всегда находится напротив угла в 90 градусов.

Если он равнобедренный

То есть у него равны боковые стороны. В таком случае надо провести высоту к основанию (той стороне, которая не равна «бедрам»), перемножить высоту с основанием и поделить результат на два.

Если он равносторонний

То есть все три стороны равны. Ваши действия такие:

  1. Найдите квадрат стороны – умножьте эту сторону на нее же. Если у вас сторона равна 4, умножьте 4 на 4, будет 16.
  2. Умножьте полученное значение на корень из 3. Это примерно 1,732050807568877293527.
  3. Поделите все на 4.

Если известна сторона и высота

Площадь любого треугольника равна половине произведения стороны на высоту, которая к этой стороне проведена. Именно к этой, а не к какой-то другой.

Чтобы провести высоту к стороне, надо найти вершину (угол), которая противоположна этой стороне, а потом опустить из нее на сторону прямую линию под углом в 90 градусов. На картинке высота обозначена синим цветом и буквой h, а линия, на которую она опускается, красным цветом и буквой a.

Если известны две стороны и градус угла между ними

Если вы знаете, чему равны две стороны и угол между ними, то надо найти синус этого угла, умножить его на первую сторону, умножить на вторую и еще умножить на ½:

Если известны длины трех сторон

  1. Найдите периметр. Для этого сложите все три стороны.
  2. Найдите полупериметр – разделите периметр на два. Запомните значение.
  3. Отнимите от полупериметра длину первой стороны. Запомните.
  4. Отнимите от полупериметра длину второй стороны. Тоже запомните.
  5. Отнимите от полупериметра длину третьей стороны. И ее запомните.
  6. Умножьте полупериметр на каждое из этих чисел (разницу с первой, второй и третьей стороной).
  7. Найдите квадратный корень.

Эта формула еще называется формулой Герона. Возьмите на заметку, если вдруг учитель спросит.

Если известны три стороны и радиус описанной окружности

Окружность вы можете описать вокруг любого треугольника. Чтобы найти площадь «вписанного» треугольника – того, который «вписался» в окружность, надо перемножить три его стороны и поделить их на четыре радиуса. Смотрите картинку.

Если известны три стороны и радиус вписанной окружности

Если вам удалось вписать в треугольник окружность, значит она обязательно касается каждой из его сторон. Следовательно, расстояние от центра окружности до каждой из сторон треугольника – ее радиус.

Чтобы найти площадь, посчитайте сначала полупериметр – сложите все стороны и поделите на два. А потом умножьте его на радиус.

Это были все способы найти площадь треугольника. Спасибо, что дочитали статью до конца. Лайкните, если не трудно.

Источник статьи: http://vsvoemdome.ru/obrazovanie/kak-nayti-ploschad-treugolnika

Как найти площадь любого треугольника

Вспоминаем геометрию: формулы для произвольных, прямоугольных, равнобедренных и равносторонних фигур.

Как найти площадь любого треугольника

Посчитать площадь треугольника можно разными способами. Выбирайте формулу в зависимости от известных вам величин.

Зная сторону и высоту

  • S — искомая площадь треугольника.
  • a — сторона треугольника.
  • h — высота треугольника. Это перпендикуляр, опущенный на сторону или её продолжение из противоположной вершины.

Зная две стороны и угол между ними

  1. Посчитайте произведение двух известных сторон треугольника.
  2. Найдите синус угла между выбранными сторонами.
  3. Перемножьте полученные числа.
  4. Поделите результат на два.

  • S — искомая площадь треугольника.
  • a и b — стороны треугольника.
  • α — угол между сторонами a и b.

Сейчас читают 🔥

Зная три стороны (формула Герона)

  1. Посчитайте разности полупериметра треугольника и каждой из его сторон.
  2. Найдите произведение полученных чисел.
  3. Умножьте результат на полупериметр.
  4. Найдите корень из полученного числа.

  • S — искомая площадь треугольника.
  • a, b, c — стороны треугольника.
  • p — полупериметр (равен половине от суммы всех сторон треугольника).

Зная три стороны и радиус описанной окружности

  1. Найдите произведение всех сторон треугольника.
  2. Поделите результат на четыре радиуса окружности, описанной вокруг прямоугольника.

  • S — искомая площадь треугольника.
  • R — радиус описанной окружности.
  • a, b, c — стороны треугольника.

Зная радиус вписанной окружности и полупериметр

Умножьте радиус окружности, вписанной в треугольник, на полупериметр.

  • S — искомая площадь треугольника.
  • r — радиус вписанной окружности.
  • p — полупериметр треугольника (равен половине от суммы всех сторон).

Как найти площадь прямоугольного треугольника

  • S — искомая площадь треугольника.
  • a, b — катеты треугольника, то есть стороны, которые пересекаются под прямым углом.

Как найти площадь равнобедренного треугольника

  • S — искомая площадь треугольника.
  • a — основание треугольника. Это та сторона, которая не равняется двум другим. Напомним, в равнобедренном треугольнике две из трёх сторон имеют одинаковую длину.
  • h — высота треугольника. Это перпендикуляр, опущенный на основание из противоположной вершины.

Как найти площадь равностороннего треугольника

  • S — искомая площадь треугольника.
  • a — сторона треугольника. Напомним, в равностороннем треугольнике все стороны имеют одинаковую длину.

Источник статьи: http://lifehacker.ru/kak-najti-ploshhad-lyubogo-treugolnika/

Как посчитать площадь треугольника

Получите помощь лучших авторов по вашей теме

Что такое площадь треугольника

Треугольник — это многоугольник с тремя сторонами и тремя вершинами.

Площадь треугольника — это величина плоскости, заключенной между сторонами этой геометрической фигуры.У треугольника она равна произведению половины основания на высоту.

Математически это выглядит так:

где a — основание треугольника, а h — его высота.

Способы нахождения площади

Но существуют также и другие способы, по которым можно найти S этого многоугольника. Рассмотрим основные из них.

Через две стороны и угол

Если вам известны две стороны любого треугольника и угол между ними, найти площадь можно по формуле:

где a и b — стороны фигуры, а α — угол между ними.

Через радиус описанной окружности и три стороны

Если вам известен радиус окружности, которая описана вокруг вашего треугольника, а также все его стороны, можно вычислить S следующим образом:

где a, b и c — стороны фигуры, а R — радиус описанной окружности.

Через радиус вписанной окружности и три стороны

В случае, если вам известны все три стороны и радиус вписанной в треугольник окружности, можно найти его площадь по формуле:

где r — радиус вписанной окружности, (frac2) — полупериметр фигуры.

Таким образом, формулу можно выразить всего двумя множителями:

где p — полупериметр треугольника.

Через сторону и два угла

Если в данной фигуры вам известна лишь одна сторона и две прилегающих к ней угла, ее S можно найти следующим образом:

Для прямоугольного треугольника

В случае треугольника с прямым углом формулы для нахождения площади будут немного отличаться. Найти S можно будет несколькими способами.

По двум сторонам

Если вам известны оба катета данной фигуры, рассчитать S можно умножив их друг на друга, а потом разделив на пополам:

где a и b — катеты прямоугольного треугольника.

Через гипотенузу и острый угол

Зная длину гипотенузы и величину одного из острых углов, мы можем найти один из его катетов по определению косинуса. И уже потом можем использовать формулу для нахождения площади треугольника через две стороны и синус угла между ними.

где c — гипотенуза треугольника, a — его катет, а α — угол между ними.

Подставляем получившееся значение в формулу (S=frac12atimes ctimessinalpha) , получается:

Через катет и прилежащий угол

В этом случае нужно будет использовать следующую формулу:

Через радиус вписанной окружности и гипотенузу

Зная радиус вписанной в данную фигуру окружности и гипотенузу, мы можем использовать следующее уравнение для расчета:

где r — радиус вписанной окружности, c — гипотенуза.

Через вписанную окружность

Радиус, опущенный в точку касания окружности и гипотенузы прямоугольного треугольника, делит эту гипотенузу на неравные отрезки. Если нам известны величины этих отрезков, мы можем найти площадь фигуры по формуле:

где (с_1) и (с_2) — неравные отрезки гипотенузы.

По формуле Герона

Если мы знаем длины всех сторон данного многоугольника, мы можем рассчитать S по формуле Герона:

где (p=frac2) — полупериметр фигуры.

Для равнобедренного треугольника

Рассмотрим случаи нахождения площади, если у треугольника равные боковые стороны.

Через основание и сторону

В этом случае формула будет выглядеть следующим образом:

где a — одно из боковых ребер фигуры, а b — ее основание.

Через основание и противолежащий угол

Зная длину основания и противолежащий ему угол, мы можем использовать следующую формулу:

где b — основание многоугольника, β — противолежащий ему угол.

Через основание и высоту

Если нам известна величина основания равнобедренного треугольника, а также его высота, найдем S по приведенной ниже по элементарной формуле:

где b — основание фигуры, а h — высота, проведенная к этому основанию.

Через боковые стороны и угол между ними

Если мы знаем длину боковых сторон и угол между ними, найдем площадь, опираясь на расчеты:

где a — это боковое ребро, β — угол между равными ребрами.

Через основание и угол между боковыми сторонами

В этом случае нам сначала придется найти высоту по формуле:

где β — угол при вершине, а b — основание.

Далее подставляем значение в формулу

Для равностороннего треугольника

В треугольнике, у которого все стороны равны, способы нахождения S также имеют свою специфику.

Через радиус описанной окружности

Если вокруг данного многоугольника описали окружность и нам известен ее радиус, расчеты будут такими:

где R — радиус описанной окружности.

Через радиус вписанной окружности

В этом случае воспользуемся таким уравнением:

где r — радиус вписанной в многоугольник окружности.

Через сторону

Зная лишь одно ребро у равностороннего треугольника, мы можем найти S:

Через высоту

Если нам известна только высота, можем вычислить S таким образом:

Примеры решения задач

Разберемся с нахождением площади треугольника наглядно на примере некоторых случаев.

Задача 1

В треугольник вписана окружность с радиусом 6 см. Известно, что его стороны равны 10 см, 12 см и 14 см. Определить площадь фигуры.

Для расчета будем использовать формулу (S=rtimesfrac2) или (S=rtimes p) . Подставляем имеющиеся значения и получается:

Задача 2

Дан равносторонний треугольник, вокруг которого описали окружность с радиусом 3 см. Посчитать S данной фигуры.

Считать будем, опираясь на следующее уравнение (S=frac<3sqrt3R^2>4) . Подставляем данные величины и получаем:

Задача 3

Известно, что у равнобедренного треугольника основание равно 4 см, а стороны по 3 см. Нужно вычислить площадь фигуры.

Для расчета S используем формулу (S=frac b4sqrt<4a^2-b^2>) . Получается:

Задача 4

Дан треугольник с прямым углом, у которого гипотенузы равна 2 см, а один из острых углов равен (30^circ) . Узнать S данной фигуры.

Для расчетов будем ориентировать на следующее уравнение: (S=c^2timescosleft(alpharight)timessinleft(alpharight)) . Подставляем известные значения:

Ответ: (S=2^2timesfrac2timesfrac12=sqrt3 см^2) .

Источник статьи: http://wiki.fenix.help/matematika/ploshchad-treugolnika


Adblock
detector