Меню

Что такое накрест лежащие углы и как их найти



Содержимое

Углы при параллельных прямых и секущей. Вертикальные, смежные, односторонние, соответственные, накрест лежащие углы

Пусть прямая с пересекает параллельные прямые и . При этом образуется восемь углов. Углы при параллельных прямых и секущей так часто используются в задачах, что в геометрии им даны специальные названия.

Углы и — вертикальные. Очевидно, вертикальные углы равны, то есть

Конечно, углы и , и — тоже вертикальные.

Углы и — смежные, это мы уже знаем. Сумма смежных углов равна .

Углы и (а также и , и , и ) — накрест лежащие. Накрест лежащие углы равны.

Углы и — односторонние. Они лежат по одну сторону от всей «конструкции». Углы и — тоже односторонние. Сумма односторонних углов равна , то есть

Углы и (а также и , и , и ) называются соответственными.

Соответственные углы равны, то есть

Углы и (а также и , и , и ) называют накрест лежащими.

Накрест лежащие углы равны, то есть

Чтобы применять все эти факты в решении задач ЕГЭ, надо научиться видеть их на чертеже. Например, глядя на параллелограмм или трапецию, можно увидеть пару параллельных прямых и секущую, а также односторонние углы. Проведя диагональ параллелограмма, видим накрест лежащие углы. Это — один из шагов, из которых и состоит решение.

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

1. Биссектриса тупого угла параллелограмма делит противоположную сторону в отношении , считая от вершины тупого угла. Найдите большую сторону параллелограмма, если его периметр равен .

Напомним, что биссектриса угла — это луч, выходящий из вершины угла и делящий угол пополам.

Пусть — биссектриса тупого угла . По условию, отрезки и равны и соответственно.

Рассмотрим углы и . Поскольку и параллельны, — секущая, углы и являются накрест лежащими. Мы знаем, что накрест лежащие углы равны. Значит, треугольник — равнобедренный, следовательно, .

Периметр параллелограмма — это сумма всех его сторон, то есть

2. Диагональ параллелограмма образует с двумя его сторонами углы и . Найдите больший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Нарисуйте параллелограмм и его диагональ. Заметив на чертеже накрест лежащие углы и односторонние углы, вы легко получите ответ: .

3. Чему равен больший угол равнобедренной трапеции, если известно, что разность противолежащих углов равна ? Ответ дайте в градусах.

Мы знаем, что равнобедренной (или равнобокой) называется трапеция, у которой боковые стороны равны. Следовательно, равны углы при верхнем основании, а также углы при нижнем основании.

Давайте посмотрим на чертеж. По условию, , то есть .

Углы и — односторонние при параллельных прямых и секущей, следовательно,

Источник статьи: http://ege-study.ru/ru/ege/materialy/matematika/ugly-pri-parallelnyx-pryamyx/

Внутренние накрест лежащие углы

Внутренние накрест лежащие углы — один из видов углов, образованных при пересечении двух прямых секущей.

Две прямые разбивают плоскость на внутреннюю (внутри между прямыми) и внешнюю области. Углы, лежащие во внутренней части, так и называются — внутренние.

Внутренние накрест лежащие углы — это углы, которые лежат во внутренней области по разные стороны от секущей (накрест друг от друга).

При пересечении двух прямых секущей образуется две пары внутренних накрест лежащих углов.

∠1 и∠2 — внутренние накрест лежащие углы при прямых a и b и секущей c.

∠3 и∠4 — внутренние накрест лежащие углы при прямых a и b и секущей c.

Из всех внутренних накрест лежащих углов наибольший интерес представляют углы при параллельных прямых.

Свойство параллельных прямых

Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то внутренние накрест лежащие углы равны.

Если a ∥ b, то

(как внутренние накрест лежащие углы при a ∥ b и секущей c).

Признак параллельных прямых

Если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

∠1=∠2.

А так как эти углы — внутренние накрест лежащие при прямых a и b и секущей c,

то a ∥ b (по признаку параллельных прямых).

Равенство внутренних накрест лежащих углов при параллельных прямых используется, в частности, при доказательстве равенства треугольников и подобия треугольников.

Источник статьи: http://www.treugolniki.ru/vnutrennie-nakrest-lezhashhie-ugly/

Углы при пересечении двух прямых

Если какие-нибудь две прямые пересечены третьей прямой, то пересекающая их прямая называется секущей по отношению к прямым, которые она пересекает.

При пересечении двух прямых третьей, образуется два вида углов: внешние и внутренние.

На рисунке изображены две прямые a и b, пересекаемые прямой c. Прямая c по отношению к прямым a и b является секущей. Синим цветом на рисунке обозначены внешние углы (∠1, ∠2, ∠7 и ∠8), а красным — внутренние углы (∠3, ∠4, ∠5 и ∠6).

Также при пересечении двух прямых третьей, образовавшиеся углы получают попарно следующие названия:

Соответственные углы: ∠1 и ∠5, ∠3 и ∠7, ∠2 и ∠6, ∠4 и ∠8.
Внутренние накрест лежащие углы: ∠3 и ∠6, ∠4 и ∠5.
Внешние накрест лежащие углы: ∠1 и ∠8, ∠2 и ∠7.
Внутренние односторонние углы: ∠3 и ∠5, ∠4 и ∠6.
Внешние односторонние углы: ∠1 и ∠7, ∠2 и ∠8.

Углы при пересечении параллельных прямых

Если секущая пересекает две параллельные прямые линии, то:

  • внутренние накрест лежащие углы равны;
  • сумма внутренних односторонних углов равна 180°;
  • соответственные углы равны;
  • внешние накрест лежащие углы равны;
  • сумма внешних односторонних углов равна 180°.

Источник статьи: http://izamorfix.ru/matematika/planimetriya/ugly_dvuh_pryam.html

Определение параллельных прямых в пространстве

Библиотека бесплатных студенческих работ

Что такое параллельные прямые в пространстве

Прямые в пространстве могут быть параллельны, пересекаться или скрещиваться. Мы рассмотрим первое свойство.

Впервые теорию о параллельности научно обосновал греческий ученый Евклид в своей работе под названием «Начала».

Параллельные прямые в пространстве — прямые, лежащие в одной плоскости и не имеющие пересечений друг с другом.

Обозначение параллельных прямых

Сами прямые обозначаются латинскими буквами. Например, l и k. Параллельность обозначается символом: ||

Теорема о параллельных прямых, формулировка

Если любая точка в пространстве не расположена на рассматриваемой прямой, то через нее проводима лишь одна прямая, которая будет параллельна рассматриваемой.

Доказательства закона представим в заключительном разделе статьи.

Типы углов при параллельных прямых

Когда прямая пересекает две другие параллельные друг другу прямые, образуется восемь углов. В геометрии они имеют свои названия и свойства. Для дальнейшего разбора темы этой статьи достаточно разобраться в трех видах. Далее при рассмотрении каждого вида в отдельности ориентируйтесь на рисунок ниже:

Односторонние

На рисунке выше это ∠1 и ∠6, а также ∠4 и ∠7. Они расположены с одной стороны относительно прямых.

Соответственные

Углы 2 и 6, 3 и 7, 1 и 5, 4 и 8. Их расположения отличается тем, что они как бы разделены между собой одной из прямых.

Накрест лежащие

На данном рисунке это ∠3 и ∠5, ∠2 и ∠8, ∠1 и ∠7, ∠4 и ∠6. Их расположение легко запомнить, так как они размещаются по принципу «крест-накрест».

Условия параллельности

Чтобы доказать параллельность прямых, нужно знать признаки, по которым она определяется. Достаточно соблюдения хотя бы одного из нижеследующих условий.

Накрест лежащие углы равны

Дано: (a;vertvert b) , AB является секущей, углы 1 и 2 — накрест лежащими.

Доказательство: допустим, что ∠1 и ∠2 не равные. Тогда проведем угол PAB, причем он будет накрестлежащим с ∠2.

Накрест лежащие углы равны. Из этого следует, что AP (vertvert) b. Но это невозможно, потому что через точку a может проходить только одна прямая, согласно аксиоме, а у нас получилось две — b и A. Поэтому наше предположение неправильное и ∠1=∠2. Ч.т.д.

Соответственные углы равны

∠1 и ∠2 являются соответственными.

MN (vertvert) AD. Доказать, что ( angle NMC=angle BAD) .

Решение: (angle NMC=angle DAC) (как соотв.), а (angle DAC=angle BAD) (AD — биссектриса). Следовательно, (angle NMC=angle BAD) .

Сумма односторонних углов равна 180 градусов

a (vertvert) b, поэтому ∠1=∠3 (соотв.). ∠2+∠3=180º (смеж.). Поэтому при сложении получаем 180º.

Если обе прямые параллельны третьей

Этот признак называют также теоремой о трех параллельных прямых на плоскости. Если a (vertvert) b и c (vertvert) b, то a (vertvert) c.

Есть a (vertvert) b. Допустим, что существует еще c (vertvert) a. Согласно условию, a не пересекает b и наоборот.

В трехмерном пространстве прямые, параллельные третьей, параллельны друг с другом

Здесь то же самое, что в предыдущем пункте: в случае, когда a и c ||, а b и c также ||, то a и b тоже ||.

Две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны

Обозначение перпендикулярных прямых: ⊥

На картинке видно, что a (perp) c и b (perp) c. Отсюда, согласно этому признаку-теореме, следует, что a (vertvert) b.

Допустим, что a (perp) c и b (perp) c, но a не (vertvert;) b. Тогда a и b пересекаются в какой-то точке. Рассмотрим треугольник ABC. Сумма его углов будет равна 180º+∠C. Но так быть не может. Значит, наше предположение неверно, и a (vertvert) b.

Доказательство параллельности прямых

Ниже представлено доказательство теоремы из первого раздела статьи.

  1. Есть a (прямая) и М (точка, далее — т.). Она не принадлежит a. Через них проходит плоскость альфа ( (alpha) ). Известно, она единственная.Прямая b проходит через т.М и (vertvert;) а. Она существует, что доказывает аксиома о (;vertvert.)
  2. Предположим, что существует прямая с, которая тоже проходит через т.М, причем c (vertvert) a. В этом случае потребуется другая плоскость (beta) , такая, чтобы прошла через т.М. Такое невозможно, потому что есть теорема, которая говорит, что плоскость только одна. Значит это одна и та же плоскость ( (alpha) совпала с (beta) ) и одна и та же прямая (b совпал с c). Единственность прямой доказана.

Уравнение параллельной прямой

Если известно, что прямая проходит через какую-то точку с координатами и параллельна другой прямой y=kx+a, то ее уравнение можно найти по формуле:

Источник статьи: http://wiki.fenix.help/matematika/parallelnyye-pryamyye


Adblock
detector