Меню

Что такое наивероятнейшее число событий и как его найти



Наивероятнейшее число событий

Назначение сервиса . С помощью данного сервиса рассчитываются следующие вероятности наступления некоторого события:
а) наступит k раз; б) не менее k1 и не более k2 раз; в) событие наступит хотя бы один раз; г) каково будет наивероятнейшее число и соответствующая ему вероятность.

Пример №1 . Оптовая база снабжает товаром n магазинов. Вероятность того, что в течение дня поступит заявка на товар, равна p для каждого магазина. Найти вероятность того, что в течение дня: а) поступит k заявок; б) не менее k 1 и не более k 2 заявок; в) поступит хотя бы одна заявка. Каково наивероятнейшее число поступающих в течение дня заявок и чему равна соответствующая ему вероятность?

p n k k1 k2
0,8 18 6 5 13

Решение:
а) поступит k заявок;

б) не менее k1 и не более k2 заявок;
Воспользуемся интегральной теоремой Лапласа.
Pn(k1,k2) = Ф(x’’) – Ф(x’)
где Ф(x) – функция Лапласа.

в) поступит хотя бы одна заявка.
Найдем вероятность того, что не поступит ни одной заявки.
P18(6) = (1-p) 18 = (1-0.8) 18 = 0.2 18
Тогда вероятность того, что поступит хотя бы одна заявка равна:
q = 1–P = 1-0,2 18
Второй вариант решения. Воспользуемся локальной теоремой Лапласа.
Найдем значение x:

Функция четная, поэтому φ(-8,49) = φ(8,49) = 2,28*10 -16
Искомая вероятность:

Каково наивероятнейшее число поступающих в течение дня заявок и чему равна соответствующая ему вероятность?
По условию, n = 18, p = 0,8, q = 0,2.
Найдем наивероятнейшее число из двойного неравенства:
18*0,8 – 0,2 ≤ k0 ≤18*0,8+ 0,8
или
14,2≤ k0 ≤15,2
Поскольку np –q – дробное, то существует одно наивероятнейшее число k0 = 15.

Пример №3 . Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что в серии из 4 выстрелов будет: а) хотя бы одно попадание; б) не менее трех попаданий; в) не более одного попадания.
Решение. Здесь n = 4, p = 0,8, q = 0, 2.
а) Найдем вероятность противоположного события — в серии из четырех выстрелов нет ни одного попадания в цель:
P4(0) = C4 0 ·p 0 ·q 4 = 0.2 4 = 0.0016
Отсюда находим вероятность хотя бы одного попадания в цель:
P4(k≥1) = 1-0.0016 = 0.9984

б) Событие B , заключающееся в том, что в серии из четырех выстрелов произошло не менее трех попаданий в цель, означает, что было либо три попадания (событие C ), либо четыре (событие D ), то есть B=C+D . Отсюда, P(B) = P(C) + P(D); следовательно,
P4(k≥3) = P4(3) + P4(4) = C4 3 ·p 3 ·q 1 + C4 4 ·p 4 ·q 0 = 4·0.8 3 ·0.2+0.8 4 = 0.8192
в) Аналогично вычисляется вероятность попадания в цель не более одного раза:
P4(k≤1) = P4(0) + P4(1) = 0.0016 + C4 1 ·p 1 ·q 3 = 0.0016+4·0.8·0.2 3 = 0.2576

Пример №4 . В данной местности в среднем за год 75 солнечных дней. Оценить вероятность того, что в течение года в этой местности будет меньше, чем 200 солнечных дней.
Решение. Здесь n = 365, p=75/365 = 0.205

Источник статьи: http://math.semestr.ru/math/events.php

Учебник по теории вероятностей

1.8. Наивероятнейшее число успехов

Биномиальное распределение (распределение по схеме Бернулли) позволяет, в частности, установить, какое число появлений события $А$ наиболее вероятно. Формула для наиболее вероятного числа успехов $k$ (появлений события) имеет вид:

Так как $np-q = np+p-1$, то эти границы отличаются на 1. Поэтому $k$, являющееся целым числом, может принимать либо одно значение, когда $np$ целое число ($k=np$) , то есть когда $np+p$ (а отсюда и $np-q$) нецелое число, либо два значения, когда $np-q$ целое число.

Бесплатный онлайн-калькулятор для расчета наиболее вероятного значения.

Примеры решений задач на наиболее вероятное число успехов

Пример. При автоматической наводке орудия вероятность попадания по быстро движущейся цели равна 0,9. Найти наивероятнейшее число попаданий при 50 выстрелах.

Решение. Здесь . Поэтому имеем неравенства:

Следовательно, .

Пример. Данные длительной проверки качества выпускаемых стандартных деталей показали, что в среднем брак составляет 7,5%. Определить наиболее вероятное число вполне исправных деталей в партии из 39 штук.

Решение. Обозначая вероятность выпуска исправной детали через , будем иметь и (получение бракованной детали и получение исправной детали — события противоположные). Так как здесь n=39, то искомое число можно найти из неравенств:

Отсюда наивероятнейшее число исправных деталей равно 36 или 37.

Неравенства для наивероятнейшего числа успехов $k$ позволяют решить и обратную задачу: по данному $k$ и известному значению $р$ определить общее число $n$ всех испытаний.

Пример. При каком числе выстрелов наивероятнейшее число попаданий равно 16, если вероятность попадания в отдельном выстреле составляет 0,7?

Решение. Здесь .

,

и

Таким образом, число всех выстрелов здесь может быть 22 или 23.

Видео о решении задач о наивероятнейшем значение

Подробную статью о формуле с примерами, онлайн калькулятор и расчетный файл к видеоролику вы найдете тут.

Источник статьи: http://www.matburo.ru/tvbook_sub.php?p=par18

Что такое наивероятнейшее число событий и как его найти

Наивероятнейшее число появлений события в независимых испытаниях

Число k0 (наступления события в независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р) называют наивероятнейшим, если вероятность того, что событие наступит в этих испытаниях k0 раз, превышает (или, по крайней мере, не меньше) вероятности остальных возможных исходов испытаний.

Наивероятнейшее число k0 определяют из двойного неравенства

а) если число nр-q — дробное, то существует одно наивероят нейшее чиcло k0;

б) если число nр-q — целое, то существует два наивероятнейших числа, а именно: k0 и k0+1;

в) если число nр—целое, то наивероятнейшее число k0 = nр.

Пример. Испытывается каждый из 15 элементов некоторого устройства. Вероятность того, что элемент выдержит испытание, равна 0,9. Найти наивероятнейшее число элементов, которые выдержат испытание.

Решение. По условию, n= 15, р = 0,9, q=0,1. Найдем наивероятнейшее число k0 из двойного неравенства

Источник статьи: http://matesha.ru/book/teoriya_veroyatnosti/naiveroyatneishee_chislo.php

Наивероятнейшее число. Примеры задач и калькулятор

Напомню, что мы рассматриваем типовые задачи схемы Бернулли (или независимых повторных испытаний). Чаще всего эти задачи связаны с нахождением вероятности того, что событие произойдет сколько-то раз в серии опытов (см. решения задач про выстрелы, билеты лотереи, партии в шахматы или рождения детей). Но еще один часто встречающийся тип задач — тот, где требуется подсчитать наиболее вероятное число наступлений события.

Вычисление этого значения имеет большое практическое значение, что легко видно из постановки задач:

1. С завода отправили 100 ящиков с хрупким товаром. Вероятность того, что ящик повредится в пути, равна 0,01. Какое наиболее вероятное число поврежденных ящиков будет на станции приема груза?

2. Вероятность того, что лампа небракованная, равна 0,97. Для ресторана закупили 124 лампы. Каково наиболее вероятное число рабочих ламп?

Конечно, в реальной жизни эти задачи формулируются более сложно и решаются по иным правилам, но для учебных целей мы разбираем простейшие случаи. Перейдем к формуле, для чего сформулируем общую постановку задачи еще раз:

Пусть производится $n$ опытов, вероятность наступления события $A$ в каждом из которых одинакова равна $p$. Тогда наивероятнейшее число $m$ наступлений события $A$ в этой серии опытов можно найти по формуле: $$ np-q le m le np+p, quad q=1-p. qquad (1) $$

Часто после нахождения наибольшего числа успехов требуется вычислить вероятность наступления именно этого числа, для чего используем обычную формулу Бернулли:

$$ P_n(m)= C_n^m cdot p^m cdot q^. qquad (2) $$

Видеоурок и шаблон Excel

Посмотрите наш ролик о решении задач о наивероятнейшем значении успехов, узнайте, как использовать Excel для решения типовых задач.

Расчетный файл Эксель из видео можно бесплатно скачать и использовать для решения своих задач.

Примеры решений задач о наиболее вероятном значении

Рассмотрим несколько типовых примеров.

Пример 1. Вероятность изготовления изделия высшего сорта на данном предприятии равна 0,8. Чему равно наивероятнейшее число изделий высшего сорта в случайно отобранной партии из 100 изделий?

Выписываем известные величины $n=100, p=0,8$ и подставляем в формулу (1): $$ 100 cdot 0,8 — 0,2 le m le 100 cdot 0,8 + 0,8, \ 79,8 le m le 80,8,\ m=80. $$ Наивероятнейшее число изделий высшего сорта в случайно отобранной партии из 100 изделий равно 80 изделиям.

Пример 2. Вероятность выигрыша в лотерею на один билет равна 0,2. Куплено 12 билетов. Найти наивероятнейшее число выигравших билетов и соответствующую вероятность.

Всего куплено $n=12$ билетов, вероятность выигрыша по каждому $p=0,2$. Получаем по формуле (1): $$ 12 cdot 0,2 — 0,8 le m le 12 cdot 0,2 + 0,2, \ 1,6 le m le 2,6,\ m=2. $$ Наиболее вероятное число выигрышных билетов равно двум. Найдем вероятность этого события по формуле Бернулли (2): $$ P_<12>(2)= C_<12>^2 cdot 0,2^ <2>cdot 0,8^<10>=66cdot 0,2^ <2>cdot 0,8^<10>=0,283. $$

Пример 3. Для данного баскетболиста вероятность забить мяч при одном броске равна 0,6. Произведено 10 бросков по корзине. Найти наивероятнейшее число попаданий и соответствующую вероятность.

Спортсмен делает $n=10$ независимых бросков, вероятность забить мяч при каждом $p=0,6$. Подставляем все в формулу (1): $$ 10 cdot 0,6 — 0,4 le m le 10 cdot 0,6 + 0,6, \ 5,6 le m le 6,6,\ m=6. $$ Наиболее вероятное число попаданий равно 6. Найдем вероятность этого события по формуле Бернулли (2): $$ P_<10>(6)= C_<10>^6 cdot 0,6^ <6>cdot 0,4^<4>=210 cdot 0,6^ <6>cdot 0,4^<4>=0,251. $$

Пример 4. Сколько раз нужно подбросить игральную кость, чтобы наивероятнейшее число выпадения 6 очков было равно 50?

Это несколько иная постановка задачи, хотя речь в ней тоже идет о наиболее вероятном числе. В отличие от разобранных выше, здесь уже задано $m=50$, $p=1/6$ (вероятность выпадения 6 очков на кости), а вот общее число бросков $n$ необходимо найти.

Начинаем с формулы (1), разбиваем ее на два неравенства и получаем из каждого выражение для $n$:

$$ np-q le m, quad m le np+p, $$ $$ np le m+q, quad np ge m-p, $$ $$ n le (m+q)/p, quad n ge (m-p)/p. $$

Подставляем наши значения

$$ n le (50+5/6)/(1/6), quad n ge (50-1/6)/(1/6), $$ $$ n le 305, quad n ge 299. $$

Таким образом, нужно подбросить игральную кость от 299 до 305 раз.

Источник статьи: http://www.matburo.ru/tvart_sub.php?p=calc_bern_naiv


Adblock
detector