Меню

Что такое наименьшее общее кратное чисел и как его найти



Наименьшее общее кратное

Для того, чтобы находить общий знаменатель при сложении и вычитании дробей с разными знаменателями необходимо знать и уметь рассчитывать наименьшее общее кратное (НОК).

Кратное числу « a » — это число, которое само делится на число « a » без остатка.

Числа кратные 8 (то есть, эти числа разделятся на 8 без остатка): это числа 16, 24, 32 …

Чисел, кратных данному числу a бесконечно много, в отличии от делителей этого же числа. Делителей — конечное количество.

Общим кратным двух натуральных чисел называется число, которое делится на оба эти числа нацело.

Наименьшим общим кратным (НОК) двух и более натуральных чисел называется наименьшее натуральное число, которое само делится нацело на каждое из этих чисел.

Как найти НОК

НОК можно найти и записать двумя способами.

Первый способ нахождения НОК

Данный способ обычно применяется для небольших чисел.

  1. Выписываем в строчку кратные для каждого из чисел, пока не найдётся кратное, одинаковое для обоих чисел.
  2. Кратное числа « a » обозначаем большой буквой «К».

Второй способ нахождения НОК

Этот способ удобно использовать, чтобы найти НОК для трёх и более чисел.

  1. Разложить данные числа на простые множители. Подробнее правила разложения на простые множители вы можете прочитать в теме как найти наибольший общий делитель (НОД).
  2. Выписать в строчку множители, входящие в разложение самого большого из чисел, а под ним — разложение остальных чисел.

Количество одинаковых множителей в разложениях чисел может быть разное.

  • Подчеркнуть в разложении меньшего числа (меньших чисел) множители, которые не вошли в разложение бóльшего числа (в нашем примере это 2 ) и добавить эти множители в разложение бóльшего числа.
    НОК (24, 60) = 2 · 2 · 3 · 5 · 2
  • Полученное произведение записать в ответ.
    Ответ: НОК (24, 60) = 120
  • Оформить нахождение наименьшего общего кратного (НОК) можно также следующим образом. Найдём НОК (12, 16, 24) .

    24 = 2 · 2 · 2 · 3

    Как видим из разложения чисел, все множители 12 вошли в разложение 24 (самого бóльшего из чисел), поэтому в НОК добавляем только одну 2 из разложения числа 16 .

    НОК (12, 16, 24) = 2 · 2 · 2 · 3 · 2 = 48

    Особые случаи нахождения НОК

    1. Если одно из чисел делится нацело на другие, то наименьшее общее кратное этих чисел равно этому числу.

    Например, НОК (60, 15) = 60
    Так как взаимно простые числа не имеют общих простых делителей, то их наименьшее общее кратное равно произведению этих чисел.

    На нашем сайте вы также можете с помощью специального калькулятора найти наименьшее общее кратное онлайн, чтобы проверить свои вычисления.

    Источник статьи: http://math-prosto.ru/?page=pages/find_nod_and_nok/find_nok.php

    Наименьшее общее кратное

    Общее кратное

    Число может быть кратно не одному, а сразу нескольким числам, такое число называется общим кратным данных чисел.

    Числу 3 кратны числа: 6, 9, 12, 15 и т. д.

    Числу 4 кратны числа: 8, 12, 16, 20 и т. д.

    Можно заметить, что одно и тоже число (12) делится нацело сразу на оба числа 3 и 4. Следовательно, число 12 есть общее кратное чисел 3 и 4.

    Общее кратное чисел — это любое число, которое делится без остатка на каждое из данных чисел.

    Найти общее кратное нескольких натуральных чисел достаточно легко, можно просто перемножить данные числа, полученное произведение и будет их общим кратным.

    Пример. Найти общее кратное для чисел 2, 3, 4, 6.

    Число 144 — общее кратное чисел 2, 3, 4 и 6.

    Для любого количества натуральных чисел существует бесконечно много кратных.

    Пример. Для чисел 12 и 20 кратными будут числа: 60, 120, 180, 240 и т. д. Все они являются общими кратными для чисел 12 и 20.

    Наименьшее общее кратное

    Наименьшее общее кратное (НОК) нескольких чисел — это самое маленькое натуральное число, которое делится без остатка на каждое из этих чисел.

    Пример. Наименьшим общим кратным чисел 3, 4 и 9 является число 36, никакое другое число меньше 36 не делится одновременно на 3, 4 и 9 без остатка.

    Наименьшее общее кратное записывается так:

    Числа в круглых скобках могут быть указаны в любом порядке.

    Пример. Запишем наименьшее общее кратное чисел 3, 4 и 9:

    Как найти НОК

    Рассмотрим два способа нахождения наименьшего общего кратного: с помощью разложения чисел на простые множители и нахождение НОК через НОД.

    С помощью разложения на простые множители

    Чтобы найти НОК нескольких натуральных чисел, надо разложить эти числа на простые множители, затем взять из этих разложений каждый простой множитель с наибольшим показателем степени и перемножить эти множители между собой.

    Пример. Найдите наименьшее общее кратное двух чисел 99 и 54.

    Решение: разложим каждое из этих чисел на простые множители:

    Наименьшее общее кратное должно делиться на 99, значит, в его состав должны входить все множители числа 99. Далее НОК должно делиться и на 54, т. е. в его состав должны входить множители и этого числа.

    Выпишем из этих разложений каждый простой множитель с наибольшим показателем степени и перемножим эти множители между собой. Получим следующее произведение:

    Это и есть наименьшее общее кратное данных чисел. Никакое другое число меньше 594 не делится нацело на 99 и 54.

    Так как взаимно простые числа не имеют одинаковых простых множителей, то их наименьшее общее кратное равно произведению этих чисел.

    Пример. Найдите наименьшее общее кратное двух чисел 12 и 49.

    Решение: разложим каждое из этих чисел на простые множители:

    Применяя к этому случаю правило, мы придём к заключению, что взаимно простые числа надо просто перемножить:

    Таким же образом надо поступать, когда нужно найти наименьшее общее кратное простых чисел.

    Пример. Найдите наименьшее общее кратное чисел 5, 7 и 13.

    Решение: так как данные числа являются простыми, то просто перемножим их:

    Если большее из данных чисел делится на все остальные числа, то это число и будет наименьшим общим кратным данных чисел.

    Пример. Найдите наименьшее общее кратное чисел 24, 12 и 4.

    Решение: разложим каждое из этих чисел на простые множители:

    Можно заметить, что разложение большего числа содержит все множители остальных чисел, значит большее из этих чисел делится на все остальные числа (в том числе и само на себя) и является наименьшим общим кратным:

    Нахождение НОК через НОД

    НОК двух натуральных чисел равно произведению этих чисел, поделённого на их НОД.

    Пример. Найдите наименьшее общее кратное двух чисел 99 и 54.

    Теперь мы можем вычислить НОК этих чисел по формуле:

    НОК (99, 54) = 99 · 54 : НОД (99, 54) = 5346 : 9 = 594.

    Чтобы найти НОК трёх или более чисел используется следующий порядок действий:

    1. Находят НОК любых двух из данных чисел.
    2. Затем находят наименьшее общее кратное найденного НОК и третьего числа и т. д.
    3. Таким образом поиск НОК продолжается до тех пор, пока есть числа.

    Пример. Найдите наименьшее общее кратное чисел 8, 12 и 9.

    Решение: сначала находим наибольший общий делитель любых двух из этих чисел, например, 12 и 8:

    Вычисляем их НОК по формуле:

    НОК (12, 8) = 12 · 8 : НОД (12, 8) = 96 : 4 = 24.

    Теперь найдём НОК числа 24 и оставшегося числа 9. Их НОД:

    НОК (24, 9) = 24 · 9 : НОД (24, 9) = 216 : 3 = 72.

    Калькулятор НОК

    Данный калькулятор поможет вам найти наименьшее общее кратное чисел. Просто введите числа через пробел или запятую и нажмите кнопку Вычислить НОК .

    Источник статьи: http://izamorfix.ru/matematika/arifmetika/nok.html

    Наименьшее общее кратное: как найти

    Библиотека бесплатных студенческих работ

    Наименьшее общее кратное — что это такое

    Число, которое можно без остатка разделить на выбранные числа, является их общим кратным. Наименьшее из таких чисел — наименьшее общее кратное или сокращенно «нок».

    Действия с дробями, имеющими различный знаменатель, можно значительно облегчить, если найти наименьшее общее кратное (НОК). Это такое число, например, кратное числу а, которое можно разделить на это а целиком, без остатка.

    К числам, кратным 8, относятся 16, 24, 32, 40 и т.п. Кратными 9-ти являются 9, 18, 27, 36 и т.п.

    Существует бесчисленное множество чисел, делящихся на а без остатка, т.е. кратных ему. В то же время, этого нельзя сказать о числе делителей. Так, делителями для 9-ти являются 9, 3, 1.

    Если для двух или более натуральных чисел существует число, делящееся на оба без остатка, то оно является наименьшим общим кратным. А то из, них, которое самое маленькое, является нок.

    Вычисление НОК, правила в математике

    Для нахождения нок в математике существует несколько правил или алгоритмов. Самый простой вариант — вычисление НОК для двух чисел-участников. Способ легкий, но приемлем для маленьких натуральных чисел.

    Нужно составить ряды чисел, кратных каждому из выбранных значений.

    Из рядов видно, что в обоих рядах встречаются числа 12 и 24. Это общие кратные. Однако 12 из них — меньшее число.

    Как найти НОК через НОД

    Определение НОК можно провести с использованием НОД (наибольшего общего делителя).

    В этом блоке изложения материала следует уточнить некоторые понятия.

    Простым называется такое натуральное число, которое целиком можно разделить только само на себя либо на единицу.

    Наименьшим простым числом является двойка. Она же — единственное четное натуральное простое число. Все остальные — нечетные.

    Множество чисел делятся не только на 1 и на себя, но и на другие целые натуральные числа:

    Эти числа — делители восьми и тридцати шести (делимых). Именно они могут разделить 8 и 36 без остатка. В обоих приведенных примерах делимые (8, 36) являются составными числами, поскольку имеют более двух делителей.

    В приведенных рядах существуют одинаковые делители. Это 1, 2, 4, 8.

    Самое большое число — 8. Оно и является наибольшим общим делителем.

    Наибольший общий делитель (НОД) — число, на которое без остатка делится выбранная пара (либо больше) чисел.

    Бывают пары чисел, которые из общих делителей имеют только единицу. Тогда они называются взаимно простыми: НОД (9, 8)=1, НОД (12, 10)=1.

    На следующем примере показаны пары чисел со значениями их НОД и НОК.

    Решение задачи по нахождению НОК через НОД сводится к следующей формуле:

    НОК чисел a,b равняется частному произведения a и b на наибольший общий делитель чисел a и b (по-другому НОД (a, b).

    Исходя из этого заключения получается, что НОК и НОД взаимосвязаны друг с другом. Наименьшее общее кратное можно легко найти через наибольший общий делитель для двух или более натуральных чисел.

    Как найти НОК через разложение чисел

    Кроме составления рядов значений, кратных каждому из двух выбранных натуральных чисел, для правильного определения НОК пользуются методом разложения на множители.

    Найденные простые множители первого разложения сравниваются с аналогичными из второго разложения, после чего они перемножаются.

    После разложения числа 9 на простые множители получается ряд:

    После разложения 12-ти получается ряд:

    После разложения на множители числа 9 получаем: 3*3. После разложения на множители 12-ти получаем: 2*2*3. Объединяя множители обеих вариантов, получаем произведение: 3*3*2*2=36.

    Наименьшее общее кратное чисел 9 и 12 — 36.

    В качестве проверки произведем действия:

    На практике записывают: НОК (9, 12)=36.

    Такими действиями можно найти НОК более сложных чисел.

    Число 50 делится на 1, 2, 5, 10, 25, 50.

    Число 180 на: 1, 5, 15, 30, 45, 90, 180.

    Разложив на множители 50, получаем: 2, 5, 5.

    Разложив 180, получаем: 2, 2, 3, 3, 5.

    Из первого разложения выписываем: 2*5*5. Сравнивая со вторым разложением, описываем одну двойку и две тройки. После перемножения полученного ряда получается произведение: 2*5*5*2*3*3=900. Это и есть наименьшее общее кратное чисел 50 и 180.

    Следовательно, НОК (50, 180)=900.

    Существует еще один быстрый способ находить НОК. Он приемлем для вариантов, когда одно число нацело делится на другое. Например: НОК (15, 30)=30, НОК (20, 80)=80, НОК (16, 48)=48.

    Для случаев, когда у двух чисел не имеется общих делителей, их можно просто перемножить и получить НОК. Например, НОК (7, 8)=56, НОК (4, 9)=36, НОК (7, 9)=63.

    Нахождение НОК трех и большего количества чисел

    Если предстоит найти НОК для большего, чем 2, количества чисел, их нужно разложить на простые множители. Например,

    Сравнивая множители в каждом случае разложения натуральных чисел и выстраивая их в один ряд для умножения, получаем, что НОК (32, 40, 80) = 2*2*2*2*2*5 = 160.

    В математике принято для нахождения НОК трех и более чисел применять следующую теорему:

    Дано задание вычислить НОК для чисел 140 (a1), 9 (a2), 54 (а3), 250 (а4).

    Для нахождения НОК (140, 9) производим действия. 140=15*9+5; 9=5*1+4.

    Последующее разложение: 5=4*1+1, 4=4*1.

    Следовательно, НОД (140, 9)=1. НОК (140, 9)=140*9/НОД (140, 9)=140*9/1=1260.

    По аналогии вычисляем m3 (=3780) и m4 (=94500). Это и есть ответ решения задачи по нахождению НОК чисел 140, 9, 54, 250.

    Нужно подобрать материалы для студенческой работы?

    Источник статьи: http://wiki.fenix.help/matematika/kak-nayti-nok


    Adblock
    detector