Меню

Что такое минор матрицы и как его найти



Минор матрицы

Формула

Определение
Минор матрицы — это определитель $ n-1 $ порядка, составленный путём вычеркивания $ i $-ой строки и $ j $-го столбца из матрицы $ A $ порядка $ n $. Обозначается минор $ M_ $

Формула минора матрицы выводится для каждого элемента этой матрицы отдельно. Пусть задана квадратная матрица $ A $ порядка $ n = 3 $:

По определению каждый минор $ M_ $ равен определителю, получаемому при вычеркивании $ i $-ой строки и $ j $-ого столбца из матрицы $ A $.

Аналогично миноры находятся для любого порядка. В частности для матрицы второго порядка в определитель будет входить одно число.

Как найти?

Чтобы найти миноры матрицы $ M_ $ нужно составить определители, полученные путем вычеркивания из матрицы $ A $ соответствующие строку и столбец.

Пример для матрицы второго порядка:

Пример для матрицы третьего порядка:

Если полученный определитель:

  1. Первого порядка, то записываем оставшееся число
  2. Второго или третьего порядка, то вычисляем его по правилу треугольников
  3. Четвертого и выше порядка, то выполняем разложение по строке (столбцу), либо методом Гаусса

Примеры решений

Определить миноры матрицы:

Вычеркиваем нужную строку и столбец:

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ $$ M_ <11>= 5; M_ <12>= 0; M_ <21>= 1; M_ <22>= 2 $$

Найти миноры элементов на главной диагонали матрицы:

Источник статьи: http://xn--24-6kcaa2awqnc8dd.xn--p1ai/minory-matricy.html

Алгебраические дополнения и миноры. Виды миноров и алгебраических дополнений.

В данной теме рассмотрим понятия алгебраического дополнения и минора. Изложение материала опирается на термины, пояснённые в теме «Матрицы. Виды матриц. Основные термины». Также нам понадобятся некоторые формулы для вычисления определителей. Так как в данной теме немало терминов, относящихся к минорам и алгебраическим дополнениям, то я добавлю краткое содержание, чтобы ориентироваться в материале было проще.

Минор $M_$ элемента $a_$

Пусть задана квадратная матрица $A_$ (т.е. квадратная матрица n-го порядка).

Для примера рассмотрим квадратную матрицу четвёртого порядка: $A=left( begin 1 & 0 & -3 & 9\ 2 & -7 & 11 & 5 \ -9 & 4 & 25 & 84\ 3 & 12 & -5 & 58 end right)$. Найдём минор элемента $a_<32>$, т.е. найдём $M_<32>$. Сперва запишем минор $M_<32>$, а потом вычислим его значение. Для того, чтобы составить $M_<32>$, вычеркнем из матрицы $A$ третью строку и второй столбец (именно на пересечении третьей строки и второго столбца расположен элемент $a_<32>$). Мы получим новую матрицу, определитель которой и есть искомый минор $M_<32>$:

Этот минор несложно вычислить, используя формулу №2 из темы вычисления определителей второго и третьего порядков:

$$ M_<32>=left| begin 1 & -3 & 9\ 2 & 11 & 5 \ 3 & -5 & 58 end right|= 1cdot 11cdot 58+(-3)cdot 5cdot 3+2cdot (-5)cdot 9-9cdot 11cdot 3-(-3)cdot 2cdot 58-5cdot (-5)cdot 1=579. $$

Итак, минор элемента $a_<32>$ равен 579, т.е. $M_<32>=579$.

Часто вместо словосочетания «минор элемента матрицы» в литературе встречается «минор элемента определителя». Суть остается неизменной: чтобы получить минор элемента $a_$ нужно вычеркнуть из исходного определителя i-ю строку и j-й столбец. Оставшиеся элементы записывают в новый определитель, который и является минором элемента $a_$. Например, найдём минор элемента $a_<12>$ определителя $left| begin -1 & 3 & 2\ 9 & 0 & -5 \ 4 & -3 & 7 end right|$. Чтобы записать требуемый минор $M_<12>$ нам понадобится вычеркнуть из заданного определителя первую строку и второй столбец:

Чтобы найти значение данного минора используем формулу №1 из темы вычисления определителей второго и третьего порядков:

$$ M_<12>=left| begin 9 & -5\ 4 & 7 end right|=9cdot 7-(-5)cdot 4=83. $$

Итак, минор элемента $a_<12>$ равен 83, т.е. $M_<12>=83$.

Алгебраическое дополнение $A_$ элемента $a_$

Пусть задана квадратная матрица $A_$ (т.е. квадратная матрица n-го порядка).

где $M_$ – минор элемента $a_$.

Найдем алгебраическое дополнение элемента $a_<32>$ матрицы $A=left( begin 1 & 0 & -3 & 9\ 2 & -7 & 11 & 5 \ -9 & 4 & 25 & 84\ 3 & 12 & -5 & 58 end right)$, т.е. найдём $A_<32>$. Ранее мы уже находили минор $M_<32>=579$, поэтому используем полученный результат:

Обычно при нахождении алгебраических дополнений не вычисляют отдельно минор, а уж потом само дополнение. Запись минора опускают. Например, найдем $A_<12>$, если $A=left( begin -5 & 10 & 2\ 6 & 9 & -4 \ 4 & -3 & 1 end right)$. Согласно формуле $A_<12>=(-1)^<1+2>cdot M_<12>=-M_<12>$. Однако чтобы получить $M_<12>$ достаточно вычеркнуть первую строку и второй столбец матрицы $A$, так зачем же вводить лишнее обозначение для минора? Сразу запишем выражение для алгебраического дополнения $A_<12>$:

Минор k-го порядка матрицы $A_$

Если в предыдущих двух пунктах мы говорили лишь о квадратных матрицах, то здесь поведём речь также и о прямоугольных матрицах, у которых количество строк вовсе не обязательно равняется количеству столбцов. Итак, пусть задана матрица $A_$, т.е. матрица, содержащая m строк и n столбцов.

Например, рассмотрим такую матрицу:

$$A=left( begin -1 & 0 & -3 & 9\ 2 & 7 & 14 & 6 \ 15 & -27 & 18 & 31\ 0 & 1 & 19 & 8\ 0 & -12 & 20 & 14\ 5 & 3 & -21 & 9\ 23 & -10 & -5 & 58 end right) $$

Запишем для неё какой-либо минор третьего порядка. Чтобы записать минор третьего порядка нам потребуется выбрать какие-либо три строки и три столбца данной матрицы. Например, возьмём строки №2, №4, №6 и столбцы №1, №2, №4. На пересечении этих строк и столбцов будут располагаться элементы требуемого минора. На рисунке элементы минора показаны синим цветом:

Миноры первого порядка находятся на пересечении одной строки и одного столбца, т.е. миноры первого порядка равны элементам заданной матрицы.

Напомню, что главными диагональными элементами именуют те элементы матрицы, у которых индексы равны: $a_<11>$, $a_<22>$, $a_<33>$ и так далее. Например, для рассмотренной выше матрицы $A$ такими элементами будут $a_<11>=-1$, $a_<22>=7$, $a_<33>=18$, $a_<44>=8$. На рисунке они выделены зелёным цветом:

$$left( begin boldgreen <-1>& 0 & -3 & 9\ 2 & boldgreen <7>& 14 & 6 \ 15 & -27 & boldgreen <18>& 31\ 0 & 1 & 19 & boldgreen<8>\ 0 & -12 & 20 & 14\ 5 & 3 & -21 & 9\ 23 & -10 & -5 & 58 end right) $$

Например, если в матрице $A$ мы вычеркнем строки и столбцы с номерами 1 и 3, то на их пересечении будут расположены элементы минора второго порядка, на главной диагонали которого будут находиться только диагональные элементы матрицы $A$ (элементы $a_<11>=-1$ и $a_<33>=18$ матрицы $A$). Следовательно, мы получим главный минор второго порядка:

$$ M=left|begin boldgreen <-1>& -3 \ 15 & boldgreen <18>end right| $$

Естественно, что мы могли взять иные строки и столбцы, – например, с номерами 2 и 4, получив при этом иной главный минор второго порядка.

Для примера рассмотрим такую матрицу:

$$A=left( begin -1 & 0 & 3 & 0 & 0 \ 2 & 0 & 4 & 1 & 0\ 1 & 0 & -2 & -1 & 0\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 end right) $$

Запишем минор этой матрицы, элементы которого расположены на пересечении строк №1, №2, №3 и столбцов с №1, №3, №4. Мы получим минор третьего порядка (его элементы выделены в матрице $A$ фиолетовым цветом):

Найдём значение этого минора, используя формулу №2 из темы вычисления определителей второго и третьего порядков:

$$ M=left| begin -1 & 3 & 0\ 2 & 4 & 1 \ 1 & -2 & -1 end right|=4+3+6-2=11. $$

Итак, $M=11neq 0$. Теперь попробуем составить любой минор, порядок которого выше трёх. Чтобы составить минор четвёртого порядка, нам придётся использовать четвёртую строку, однако все элементы этой строки равны нулю. Следовательно, в любом миноре четвёртого порядка будет нулевая строка, а это означает, что все миноры четвёртого порядка равны нулю. Миноры пятого и более высоких порядков составить мы не можем, так как матрица $A$ имеет всего 4 строки.

Мы нашли минор третьего порядка, не равный нулю. При этом все миноры высших порядков равны нулю, следовательно, рассмотренный нами минор – базисный. Строки матрицы $A$, на которых расположены элементы этого минора (первая, вторая и третья), – базисные строки, а первый, третий и четвёртый столбцы матрицы $A$ – базисные столбцы.

Данный пример, конечно, тривиальный, так как его цель – наглядно показать суть базисного минора. Вообще, базисных миноров может быть несколько, и обычно процесс поиска такого минора куда сложнее и объёмнее.

Введём ещё одно понятие – окаймляющий минор.

Для примера обратимся к такой матрице:

$$A=left( begin -1 & 2 & 0 & -2 & -14\ 3 & -17 & -3 & 19 & 29\ 5 & -6 & 8 & -9 & 41\ -5 & 11 & 19 & -20 & -98\ 6 & 12 & 20 & 21 & 54\ -7 & 10 & 14 & -36 & 79 end right) $$

Запишем минор второго порядка, элементы которого расположены на пересечении строк №2 и №5, а также столбцов №2 и №4. Эти элементы выделены в матрице красным цветом:

Добавим к набору строк, на которых лежат элементы минора $M$, ещё строку №1, а к набору столбцов – столбец №5. Получим новый минор $M’$ (уже третьего порядка), элементы которого расположены на пересечении строк №1, №2, №5 и столбцов №2, №4, №5. Элементы минора $M$ на рисунке выделены красным цветом, а элементы, которые мы добавляем к минору $M$ – синим:

Минор $M’$ является окаймляющим минором для минора $M$. Аналогично, добавляя к набору строк, на которых лежат элементы минора $M$, строку №4, а к набору столбцов – столбец №3, получим минор $M»$ (минор третьего порядка):

Минор $M»$ также является окаймляющим минором для минора $M$.

Минор k-го порядка матрицы $A_$. Дополнительный минор. Алгебраическое дополнение к минору квадратной матрицы.

Вновь вернёмся к квадратным матрицам. Введём понятие дополнительного минора.

Для примера рассмотрим квадратную матрицу пятого порядка:

$$ A=left( begin -1 & 2 & 0 & -2 & -14\ 3 & -17 & -3 & 19 & 29\ 5 & -6 & 8 & -9 & 41\ -5 & 11 & 16 & -20 & -98\ -7 & 10 & 14 & -36 & 79 end right) $$

Выберем в ней строки №1 и №3, а также столбцы №2 и №5. На пересечении оных строк и столбцов будут элементы минора $M$ второго порядка. Эти элементы выделены в матрице $A$ зелёным цветом:

Теперь уберём из матрицы $A$ строки №1 и №3 и столбцы №2 и №5, на пересечении которых находятся элементы минора $M$ (элементы убираемых строк и столбцов показаны красным цветом на рисунке ниже). Оставшиеся элементы образуют минор $M’$:

Минор $M’$, порядок которого равен $5-2=3$, является минором, дополнительным к минору $M$.

Словосочетание «алгебраическое дополнение к минору $M$» часто заменяют словосочетанием «алгебраическое дополнение минора $M$».

Для примера рассмотрим матрицу $A$, для которой мы находили минор второго порядка $ M=left| begin 2 & -14 \ -6 & 41 end right| $ и дополнительный к нему минор третьего порядка: $M’=left| begin 3 & -3 & 19\ -5 & 16 & -20 \ -7 & 14 & -36 end right|$. Обозначим алгебраическое дополнение минора $M$ как $M^*$. Тогда согласно определению:

Параметр $alpha$ равен сумме номеров строк и столбцов, на которых находится минор $M$. Этот минор расположен на пересечении строк №1, №3 и столбцов №2, №5. Следовательно, $alpha=1+3+2+5=11$. Итак:

$$ M^*=(-1)^<11>cdot M’=-left| begin 3 & -3 & 19\ -5 & 16 & -20 \ -7 & 14 & -36 end right|. $$

В принципе, используя формулу №2 из темы вычисления определителей второго и третьего порядков, можно довести вычисления до конца, получив значение $M^*$:

$$ M^*=-left| begin 3 & -3 & 19\ -5 & 16 & -20 \ -7 & 14 & -36 end right|=-30. $$

Источник статьи: http://math1.ru/education/matrix/minor.html


Adblock
detector