Меню

Что такое медиана прямоугольного треугольника и как ее найти



Медиана в прямоугольном треугольнике

Медиана в прямоугольном треугольнике — это отрезок, который соединяет вершину треугольника и середину противоположной стороны, то есть вершину острого угла с серединой противолежащего катета или вершину прямого угла с серединой гипотенузы.

Все медианы прямоугольного треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении два к одному, считая от вершины:

Из всех медиан прямоугольного треугольника в задачах чаще всего речь идет о медиане, проведенной к гипотенузе. Это связано с ее свойствами.

Свойства медианы, проведенной к гипотенузе:

1) Медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

(в следующий раз рассмотрим доказательство этого свойства)

2) Медиана, проведенная к гипотенузе, равна радиусу описанной около прямоугольного треугольника окружности.

Пользуясь свойствами прямоугольного треугольника, длины медиан прямоугольного треугольника можно выразить через катеты и острые углы.

Например:

12 Comments

Информация очень хорошая. Правда не помогла мне решить задачу, которую мой сын не решил на контрольной. приведу условие:
Из прямого угла треугольника проведена медиана на гипотенузу. Длина медианы 6см. Определить катеты.

Петр, данных для определения катетов недостаточно. Длина гипотенузы в 2 раза больше длины медианы — 12 см. Это всё, что можно сказать по данным условия.

не правда надо провести высоту из прямого угла дальше все получится. один катет равен 6 а второй 2 корня из 22

Сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. Проверим 6^2+(2*корень из 22)^2
=36+4*22=36+88=124. Квадрат гипотенузы 12^2=144

попробуйте составить уравнение,обозначив 1 из катетов через х а 2-ой катет обозначьте буквами…x^2+BC^2=12^2…да числа не очень,но это 1 способ..решаю дальше:BC^2=12^2-x^2
BC^2=11x
X^2+11X=144
X^2=12
x(1 катет)=корню из 12,а «-ой катет=11 корней из 12….решал на основе теоремы пифагора

задача имеет бесконечное кол-во решений. решение возможно только в виде формулы или графика, где описана зависимость между катетами и гипотенузой

Да просто треугольник медианой делится на два треугольника с одинаковыми катетами, а дальше как уже предлагалось выше Пифагор во спасение))

А кто вам сказал, что медиана в прямоугольном треугольнике является еще и высотой? Откуда у вас два треугольника с одинаковыми катетами?

Спасибо за понятное объяснение, но у нас задача немного другая.
В прямоугольном треугольнике АВС угол С= 90 градусов,медиана ВВ1 равна 10 см.Найдите медианы АА1 СС1, если известно, что АС=12 см.( используя т.Пифагора.

1) Рассмотрим треугольник BB1C. В нём угол С равен 90 градусов, BB1=10 см, B1C=6 см (так как BB1 — медиана). По теореме Пифагора находим BC: BC=8 см. 2) Рассмотрим треугольник AA1C. В нём угол С равен 90 градусов, AC=12 см, AA1=4 см (так как BB1 — медиана). По теореме Пифагора находим AA1: AA1=4√10 см.3) Из треугольника ABC по теореме Пифагора найдём AB: AB=4√13 см. 4) CC1=1/2 AB (как медиана, проведённая к гипотенузе), CC1=2√13 см.
Где-то так.

Источник статьи: http://www.treugolniki.ru/mediana-v-pryamougolnom-treugolnike/

Медиана. Визуальный гид (ЕГЭ – 2021)

Сегодня мы рассмотрим часть треугольника, которая не раз поможет тебе при решении многих задач, — медиану.

Эта приятная, лёгкая и полезная теория!

ШПОРА ПО МЕДИАНЕ ТРЕУГОЛЬНИКА

1. Медиана делит сторону пополам.

Медиана — линия, проведенная из вершины треугольника к середине противоположной стороны.

2. Теорема: медиана делит площадь пополам

Но ( displaystyle AM=CM), значит,

3. Три медианы треугольника

Три медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении ( displaystyle 2:1 ), считая от вершины.( displaystyle <_>=frac <1>

Но ( displaystyle AM=CM), значит,

4. Формула длины медианы

5. Медиана в прямоугольном треугольнике

В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Обратная теорема: если медиана равна половине стороны, то треугольник прямоугольный и эта медиана проведена к гипотенузе.

НАЧАЛЬНЫЙ УРОВЕНЬ

Определение медианы

Отметь на какой-нибудь его стороне середину ( displaystyle M).

И соедини с противоположной вершиной!

Получившаяся линия ( displaystyle BM) и есть медиана.

Медиана – линия, проведённая из вершины треугольника к середине противоположной стороны.

Свойства медианы

Какие же хорошие свойства есть у медианы?

1) Вот представим, что треугольник ( displaystyle ABC) – прямоугольный. Бывают же такие, верно?

Тогда медиана равна половине гипотенузы!

Почему. При чём тут прямой угол?

Давай смотреть внимательно. Только не на треугольник, а на . прямоугольник. Зачем, спросишь?

А вот ты ходишь по Земле – ты видишь, что она круглая? Нет, конечно, для этого на Землю нужно смотреть из космоса. Вот и мы посмотрим на наш прямоугольный треугольник «из космоса».

Итак, рассмотрим прямоугольник ( displaystyle ABCD).

Ты заметил, что наш треугольник ( displaystyle ABC) – ровно половина этого прямоугольника?

Проведём диагональ ( displaystyle BD):

Помнишь ли ты, что диагонали прямоугольника равны и делятся точкой пересечения пополам? (Если не помнишь, загляни в тему «Параллелограмм, прямоугольник, ромб. »)
Но одна из диагоналей – ( displaystyle AC) – наша гипотенуза! Значит, точка пересечения диагоналей – середина гипотенузы ( displaystyle Delta ABC).

Она называлась у нас ( displaystyle M).

Значит, половина второй диагонали – наша медиана ( displaystyle BM). Диагонали равны, их половинки, конечно же, тоже. Вот и получим ( displaystyle BM=MA=MC)

Медиана в прямоугольном треугольнике, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Более того, так бывает только в прямоугольном треугольнике!

Если медиана равна половине стороны, то треугольник прямоугольный, и эта медиана проведена к гипотенузе.

Доказывать это утверждение мы не будем, а чтобы в него поверить, подумай сам: разве бывает какой-нибудь другой параллелограмм с равными диагоналями, кроме прямоугольника? Нет, конечно! Ну вот, значит, и медиана может равняться половине стороны только в прямоугольном треугольнике.

Автор этого учебника, Алексей Шевчук, проводит бесплатные вебинары по самым сложным задачам ЕГЭ по математике и информатике.

На вебинарах все будет еще понятнее. Шорткаты, лайфхаки, разбор «капканов» — все там.

Давай посмотрим, как это свойство помогает решать задачи.

Вот, задача:

В ( displaystyle Delta ABC) стороны ( displaystyle AC=5); ( displaystyle BC=12). Из вершины ( displaystyle C) проведена медиана ( displaystyle CN). Найти ( displaystyle AB), если ( displaystyle AB=2CN).

Сразу вспоминаем, это если ( displaystyle CN=frac<2>), то ( displaystyle angle ACB=90<>^circ )!

Ура! Можно применить теорему Пифагора! Видишь, как здорово? Если бы мы не знали, что медиана равна половине стороны только в прямоугольном треугольнике, мы никак не могли бы решить эту задачу. А теперь можем!

Применяем теорему Пифагора:

2) А теперь пусть у нас будет не одна, а целых три медианы! Как же они себя ведут?

Запомни очень важный факт:

Три медианы в треугольнике (любом!) пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении ( 2:1), считая от вершины.

Медианы ( displaystyle AM), ( displaystyle BN) и ( displaystyle CK) пересекаются в одной точке.

И… ( доказываем это в следующем уровне теории, а пока запомни!):

Не устал ещё? На следующий пример сил хватит? Сейчас мы применим всё, о чём говорили!

В треугольнике ( displaystyle ABC) проведены медианы ( displaystyle BM) и ( displaystyle AK), которые пересекаются в точке ( displaystyle O). Найти ( displaystyle BO), если ( displaystyle AB=3;text< >BC=4,text< >angle B=90<>^circ .)

( displaystyle angle B=90<>^circ ) – треугольник прямоугольный!

(Применили то, что медиана, проведённая к гипотенузе равна половине гипотенузы).

Найдём ( displaystyle AC) по теореме Пифагора:

А теперь применим знания про точку пересечения медиан.

Давай обозначим ( displaystyle OM=x). Отрезок ( BO=2OM=2x), а ( BM=3x). Если не все понятно – посмотри на рисунок.

В задаче нас спрашивают об отрезке ( displaystyle BO).

В наших обозначениях ( BO=2x=frac<5><6>cdot 2).

Ответ: ( BO=frac<5><3>).

Понравилось? Старайся теперь сам применять знания про медиану!

Его автор, Алексей Шевчук, ведет наши курсы подготовки к ЕГЭ по математике и информатике.

Приходи, научишься решать задачи любой сложности с самого нуля. Шаг за шагом.

От 2000 до 3990 руб / месяц, 3 раза в неделю по 2 часа.

СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ

Определение медианы

Медиана — линия, проведенная из вершины треугольника к середине противоположной стороны.

Посмотри на рисунок. Линия ( displaystyle BM) – медиана.

Медиана делит сторону пополам.

И все? А может, она ещё что-нибудь делит пополам? Представь себе, что это так!

Теорема о площади

Медиана делит площадь пополам.

Почему? А давай вспомним самую простую форму площади треугольника.

И применим эту формулу аж два раза!

Зарегистрируйся один раз и ты откроешь все 100 статей учебника

А также получишь доступ к видеоурокам и другим бесплатным материалам курса «Подготовка к ЕГЭ с репетитором»

* Если не понравятся бесплатные материалы, ты сможешь отписаться в любой момент

Посмотри, медиана ( displaystyle BM) разделила ( displaystyle triangle ABC) на два треугольника: ( displaystyle triangle ABM) и ( displaystyle triangle BMC). Но! Высота-то у них одна и та же – ( displaystyle BH)!

Только в ( displaystyle triangle ABM) эта высота ( displaystyle BH) опускается на сторону ( displaystyle AM), а в ( displaystyle triangle BMC) – на продолжение стороны ( displaystyle CM). Удивительно, но вот бывает и так: треугольники разные, а высота – одна. И вот, теперь-то и применим два раза формулу ( S=frac<1><2>a

1) B ( displaystyle triangle ABM):

«( displaystyle a)» – это ( displaystyle AM)
«( displaystyle h)» – это ( displaystyle BH)

2) B ( displaystyle triangle BMC):

«( displaystyle a)» – это ( displaystyle CM)
«( displaystyle h)» – это опять ( displaystyle BH)

Но ( displaystyle AM=CM)! (Посмотри на рисунок или вспомни, что ( displaystyle BM) – медиана).

>>) — площадь ( displaystyle triangle ABC) разделилась на две равные части. Ура! Доказали теорему. И получилось совсем несложно — всего-то одна формула площади.

Автор этого учебника, Алексей Шевчук, проводит бесплатные вебинары по самым сложным задачам ЕГЭ по математике и информатике.

На вебинарах все будет еще понятнее. Шорткаты, лайфхаки, разбор «капканов» — все там.

Три медианы треугольника

Три медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении ( displaystyle 2:1 ), считая от вершины.

Что бы это такое значило? Посмотри на рисунок. На самом деле утверждений в этой теореме целых два. Ты это заметил?

Первое утверждение: медианы пересекаются в одной точке.

Второе утверждение: точкой пересечения медианы делятся в отношении ( displaystyle 2:1 ), считая от вершины.

Давай попробуем разгадать секрет этой теоремы:

Сначала проведем не все три, а только две медианы. Они-то уж точно пересекутся, правда? Обозначим точку их пресечения буквой ( displaystyle E).

Соединим точки ( displaystyle N) и ( displaystyle K). Что получилось?

Конечно, ( displaystyle NK) – средняя линяя ( displaystyle triangle ABC). Ты помнишь, что это значит?

А теперь проведем ещё одну среднюю линию: отметим середину ( displaystyle AE) – поставим точку ( displaystyle F), отметим середину ( displaystyle EC) — поставим точку ( displaystyle G).

Теперь ( displaystyle FG) – средняя линия ( displaystyle triangle AEC). То есть:

Заметил совпадения? И ( displaystyle NK) , и ( displaystyle FG) – параллельны ( displaystyle AC). И ( displaystyle NK=frac<2>), и ( displaystyle FG=frac<2>).

Посмотри теперь на четырехугольник ( displaystyle NKGF). У какого четырехугольника противоположные стороны (( displaystyle NK) и ( displaystyle FG)) параллельны и равны?

Конечно же, только у параллелограмма!

Значит, ( displaystyle NKGF) – параллелограмм. Ну и что? А давай вспомним свойства параллелограмма. Например, что тебе известно про диагонали параллелограмма? Правильно, они делятся точкой пересечения пополам.

То есть ( displaystyle AF=FE=EK) – медиана ( displaystyle AK) разделена точками ( displaystyle F) и ( displaystyle E) на три равные части. И точно так же ( displaystyle CG=GE=EN).

Значит, точкой ( displaystyle E) обе медианы разделились именно в отношении ( displaystyle 2:1), то есть ( displaystyle AE=2EK) и ( displaystyle CE=2NE).

Что же будет происходить с третьей медианой? Давай вернемся в начало. О, ужас?! Нет, сейчас будет все гораздо короче. Давай выбросим медиану ( displaystyle CN) и проведем медианы ( displaystyle AK) и ( displaystyle BM).

А теперь представим, что мы провели точно такие же рассуждения, как для медиан ( displaystyle AK) и ( displaystyle CN). Что тогда?

Получится, что медиана ( displaystyle BM) разделит медиану ( displaystyle AK) абсолютно точно так же: в отношении ( displaystyle 2:1), считая от точки ( displaystyle A).

Но сколько же может быть точек на отрезке ( displaystyle AK), которые делят его в отношении ( displaystyle 2:1), считая от точки ( displaystyle A)?

Конечно же, только одна! И мы её уже видели – это точка ( displaystyle E).

Что же получилось в итоге?

Медиана ( displaystyle BM) точно прошла через ( displaystyle E)! Все три медианы через неё прошли. И все разделились в отношении ( displaystyle 2:1), считая от вершины.

Вот и разгадали (доказали) теорему. Разгадкой оказался параллелограмм, сидящий внутри треугольника.

Его автор, Алексей Шевчук, ведет наши курсы подготовки к ЕГЭ по математике и информатике.

Приходи, научишься решать задачи любой сложности с самого нуля. Шаг за шагом.

От 2000 до 3990 руб / месяц, 3 раза в неделю по 2 часа.

Формула длины медианы

Как же найти длину медианы, если известны стороны? А ты уверен, что тебе это нужно? Откроем страшную тайну: эта формула не очень полезная. Но всё-таки мы её напишем, а доказывать не будем.

Медиана в прямоугольном треугольнике

В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Как бы понять, отчего так выходит?

Давай смотреть внимательно. Только не на треугольник, а на прямоугольник.

Итак, рассмотрим прямоугольник ( displaystyle ABCD).

Ты заметил, что наш треугольник ( displaystyle ABC) – ровно половина этого прямоугольника?

Проведём диагональ ( displaystyle BD)

Помнишь ли ты, что диагонали прямоугольника равны и делятся точкой пересечения пополам? (Если не помнишь, загляни в тему «Параллелограмм, прямоугольник, . »)
Но одна из диагоналей – ( displaystyle AC) – наша гипотенуза! Значит, точка пересечения диагоналей – середина гипотенузы ( displaystyle Delta ABC). Она называлась у нас ( displaystyle M).

Значит, половина второй диагонали – наша медиана ( displaystyle BM). Диагонали равны, их половинки, конечно же, тоже. Вот и получим ( displaystyle BM=MA=MC)

Медиана в прямоугольном треугольнике, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Более того, так бывает только в прямоугольном треугольнике!

Если медиана равна половине стороны, то треугольник прямоугольный, и эта медиана проведена к гипотенузе.

Доказывать это утверждение мы не будем, а чтобы в него поверить подумай сам: разве бывает какой – нибудь другой параллелограмм с равными диагоналями, кроме прямоугольника? Нет, конечно! Ну вот, значит, и медиана может равняться половине стороны только в прямоугольном треугольнике. Давай посмотрим, как это свойство помогает решать задачи.

В ( displaystyle triangle ABC) стороны ( displaystyle AC=5); ( displaystyle BC=12). Из вершины ( displaystyle C) проведена медиана ( displaystyle CN). Найти ( displaystyle AB), если ( displaystyle AB=2CN).

Сразу вспоминаем: если ( displaystyle CN=frac<2>), то ( displaystyle angle ACB=90<>^circ )!

Ура! Можно применить теорему Пифагора! Видишь, как здорово? Если бы мы не знали, что медиана равна половине стороны только в прямоугольном треугольнике, мы никак не могли бы решить эту задачу. А теперь можем!

Применяем теорему Пифагора:

P.S. Анонс платных и бесплатных вебинаров на эту неделю (с 1-го по 7-е февраля 2021)

Вторник. 18-00 мск. Экономическая задача. ЕГЭ 17. Кредиты — 1 — https://youclever.org/prices-math-repetitor-d/

Это 2-й из 4-х уроков курса по экономической задаче. По окончании курса вы сможете решать любую экономическую задачу (в том числе на оптимизацию, где надо знать производную) и получите свои 3 балла на ЕГЭ. Все уроки доступны в записи до 1 августа 2021 года.

Среда. 18-00 мск. Планиметрия ЕГЭ №16. Касательные, касающиеся окружности — https://youclever.org/prices-math-repetitor-d/

Это 9-й из 12-ти уроков на планиметрию. Количество уроков курса говори само за себя. Планиметрия — одна из самых сложных тем. Но мы разберемся со всеми сложностями. Покупайте курс и вы сможете получить 3 балла на ЕГЭ по планиметрии. Все уроки доступны в записи до 1 августа 2021 года.

Пятница. 18-00 мск. Экономическая задача. ЕГЭ 17. Кредиты — 2 — https://youclever.org/prices-math-repetitor-d/

Это 3-й из 4-х уроков курса по экономической задаче. По окончании курса вы сможете решать любую экономическую задачу (в том числе на оптимизацию, где надо знать производную) и получите свои 3 балла на ЕГЭ. Все уроки доступны в записи до 1 августа 2021 года.

Бесплатный воскресный вебинар. 11-00. ЕГЭ 19. Задача — загадка.

Регистрация здесь: https://youclever.org/free-sunday-webinars/ Кстати, зарегистрируйтесь один раз и вы будете получать приглашения на ВСЕ бесплатные вебинары до конца года.

ИНФОРМАТИКА

Это 2-й из 8-ми уроков курса «Цикл с параметром (for). Массивы. Работа с файлами. ЕГЭ №17, 24, 25». Пройдите 8 уроков и вы сможете получить на ЕГЭ целых 4 первичных балла! Все уроки доступны в записи до 1 августа 2021 года.

Четверг. 18-00. Вложенные циклы и сложные условия — https://youclever.org/prices-informatics-repetitor-d/

Это 3-й из 8-ми уроков курса «Цикл с параметром (for). Массивы. Работа с файлами. ЕГЭ №17, 24, 25».

Эта тема чрезвычайно важна! На ЕГЭ по информатике за нее дают целых 4 первичных балла! За 8 уроков мы разберем все, что для этого нужно. Все уроки доступны в записи до 1 августа 2021 года.

Бесплатный воскресный вебинар 11-00. ЕГЭ №26. Жадный алгоритм. Олимпиадная задача и задача ЕГЭ.

Регистрация здесь: https://youclever.org/free-sunday-webinars/ Кстати, зарегистрируйтесь один раз и вы будете получать приглашения на ВСЕ бесплатные вебинары до конца года.

ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ

По всем курсам математики и информатики по каждому уроку предусмотрены домашние задания и их проверка, чтобы вы не только поняли тему, но и САМОЕ ГЛАВНОЕ научились решать задачи.
И еще вы можете задавать вопросы Алексею Шевчуку в закрытой группе Вконтакте.

Приходите на бесплатные вебинары или покупайте курсы и готовьтесь системно вместе с нами!

Источник статьи: http://youclever.org/book/mediana-1/


Adblock
detector