Меню

Что такое линейная функция и как найти ее



Линейная функция. Примеры решения задач (ЕГЭ – 2021)

Вот дурацкий пример, чтобы понять что такое функция.

Чтобы купить 1 айфон, нужно «развести» родителей на 70 тыс. рублей. (Разводить родителей не хорошо! Не делайте так никогда! 🙂 )

Количество айфонов, которые ты сможешь купить зависит от того, на сколько денег ты «разведешь» родителей.

Зависимость одной величины от другой математики называют ФУНКЦИЕЙ одной величины от другой.

Количество айфонов — это функция количества денег (иногда говорят «от количества денег).

Вес — это функция от съеденных круассанов. Чем меньше съел, тем меньше весишь.

Расстояние — это функция времени. Чем дольше ты будешь идти, тем больше пройдешь.

Ну а теперь перейдем к одному из видов функций – линейной функции.

ШПОРА О ЛИНЕЙНОЙ ФУНКЦИИ

Линейная функция – это функция вида ( y=kx+b), где ( k) и ( b) ­– любые числа (коэффициенты).

Рассмотрим, как коэффициенты влияют на месторасположение графика:

Общие варианты представлены на рисунке:

Линейная функция

Но сначала официальное определение «Функции» – теперь ты его поймешь. Держи в уме: айфон – деньги, вес – круассаны, расстояние – время.

Функция – это правило, по которому каждому элементу одного множества (аргументу) ставится в соответствие некоторый (единственный!) элемент другого множества (множества значений функции).

То есть, если у тебя есть функция ( y=fleft( x right)), это значит что каждому допустимому значению переменной ( x) (которую называют «аргументом») соответствует одно значение переменной ( y) (называемой «функцией»).

Все дело в понятии «область определения»: для некоторых функций не все аргументы «одинаково полезны» — не все можно подставить в зависимость.

Например, для функции ( y=sqrt) отрицательные значения аргумента ( x) – недопустимы.

Ну и вернемся, наконец, к теме данной статьи.

Линейной называется функция вида ( y=kx+b), где ( k) и ( b) ­– любые числа (они называются коэффициентами).

Другими словами, линейная функция – это такая зависимость, что функция прямо пропорциональна аргументу.

Как думаешь, почему она называется линейной?

Все просто: потому что графиком этой функции является прямая линия. Но об этом чуть позже.

Как уже говорилось в теме «Функции», важнейшими понятиями, связанными с любой функцией, являются ее область определения ( Dleft( y right)) и область значений ( Eleft( y right)).

Область определения линейной функции

Какими могут быть значения аргумента линейной функции ( y=kx+b)? Правильно, любыми. Это значит, что область определения – все действительные числа:

или ( Dleft( y right)=left( -infty ;+infty right)).

Область значений линейной функции

Тут тоже все просто: поскольку функция прямо пропорциональна аргументу, то чем больше аргумент ( x), тем больше значение функции ( y).

Значит, ( y) так же как и ( x) может принимать все возможные значения, то есть ( Eleft( y right)=mathbb), верно?

Верно, да не всегда. Есть такие линейные функции, которые не могут принимать любые значения. Как думаешь, в каком случае возникают ограничения?

Вспомним формулу: ( y=kx+b). Какие нужно выбрать коэффициенты ( k) и ( b), чтобы значение функции y не зависело от аргумента ( x)?

А вот какие: ( b) – любое, но ( k=0). И правда, каким бы ни был аргумент ( x), при умножении на ( k=0) получится ( 0)!

Тогда функция станет равна ( y=0cdot x+b=b), то есть она принимает одно и то же значение при всех ( x):

( y = kx + b:>left[ beginEleft( y right) = mathbb>k ne 0\Eleft( y right) = left< b right>>k = 0.end right.)

Теперь рассмотрим несколько задач на линейную функцию.

Три задачи на линейную функцию

Решение задачи №1

Пусть начальное значение аргумента равно некому числу ( <_<1>>). После увеличения на ( 2) аргумент стал равен: ( <_<2>>=<_<1>>+2).

Чему была равна функция до увеличения? Подставляем аргумент в формулу:

После увеличения: ( <_<2>>=kcdot <_<2>>+b=kleft( <_<1>>+2 right)+b=kcdot <_<1>>+2k+b).

Функция увеличилась на ( 4). Как это записать на «математическом языке» (в виде уравнения)?

Изменение – это разность конечного и начального значений. Значит, нужно из конечного значения функции ( y) вычесть начальное:

Решение задачи №2

Аналогично предыдущей задаче:

Начальное значение аргумента равно ( <_<1>>), конечное – ( <_<2>>=<_<1>>+1).

Начальное значение функции: ( <_<1>>=k<_<1>>+b);

В этот раз функция не увеличилась, а уменьшилась. Это значит, что конечное значение будет меньше начального, а значит, изменение (разность конечного и начального) будет отрицательным:

Определение прямой пропорциональной зависимости

Если проанализировать решения этих двух задач, можно прийти к важному выводу.

При изменении аргумента линейной функции на ( Delta x) функция изменяется на ( kcdot Delta x). То есть изменение функции всегда ровно в ( mathbf) раз больше изменения аргумента.

По сути это является определением прямой пропорциональной зависимости.

Решение задачи №3

Подставим известные значения аргумента и функции в формулу ( y=kx+b):

Получили два уравнения относительно ( k) и ( b). Теперь достаточно решить систему этих двух уравнений:

Вычтем из первого уравнения второе:

( 1-left( -1 right)=3k+b-left( 5k+b right)text< >Leftrightarrow text< >2=-2ktext< >Rightarrow text< >k=-1)

Подставим найденное значение k в первое уравнение:

( 1=3cdot left( -1 right)+btext< >Rightarrow text< >b=4)

Ответ: ( -1;text< >4.)

Автор этого учебника, Алексей Шевчук, проводит бесплатные вебинары по самым сложным задачам ЕГЭ по математике и информатике.

На вебинарах все будет еще понятнее. Шорткаты, лайфхаки, разбор «капканов» — все там.

График линейной функции

Как я уже упоминал ранее, график такой функции – прямая линия.

Как известно из геометрии, прямую можно провести через две точки (то есть, если известны две точки, принадлежащие прямой, этого достаточно, чтобы ее начертить).

Предположим, у нас есть функция линейная функция ( y=2x+1). Чтобы построить ее график, нужно вычислить координаты любых двух точек.

То есть нужно взять любые два значения аргумента ( x) и вычислить соответствующие два значения функции.

Затем для каждой пары ( left( x;y right)) найдем точку в системе координат, и проведем прямую через эти две точки.

Проще всего найти функцию, если аргумент ( x=0:yleft( 0 right)=2cdot 0+1=1).

Итак, первая точка имеет координаты ( left( 0;1 right)).

Теперь возьмем любое другое число в качестве ( x), например, ( x=1:yleft( 1 right)=2cdot 1+1=3).

Вторая точка имеет координаты ( left( 1;3 right)).

Ставим эти две точки на координатной плоскости:

Теперь прикладываем линейку, и проводим прямую через эти две точки:

Вот и все, график построен!

Давай теперь на этом же рисунке построим еще два графика: ( y= -1) и ( y=-x+2).

Построй их самостоятельно так же: посчитай значение y для любых двух значений ( x), отметь эти точки на рисунке и проведи через них прямую.

Видно, что все три прямые по-разному наклонены и в разных точках пересекают координатные оси. Все дело тут в коэффициентах ( displaystyle k) и ( displaystyle b).

Давай разберемся, на что они влияют.

Коэффициенты линейной функции

Для начала выясним, что делает коэффициент ( displaystyle b). Рассмотрим функцию ( displaystyle y=x+b), то есть ( displaystyle k=1).

Меняя ( displaystyle b) будем следить, что происходит с графиком.

Итак, начертим графики для разных значений ( displaystyle b:b=-2,text< ->1,text< >0,text< >1,text< >2):

Что ты можешь сказать о них? Чем отличаются графики?

Это сразу видно: чем больше ( displaystyle b), тем выше располагается прямая.

Более того, заметь такую вещь: график пересекает ось ( displaystyle mathbf) в точке с координатой, равной ( displaystyle mathbf)!

И правда. Как найти точку пересечения графика с осью ( displaystyle y)? Чему равен ( displaystyle x) в такой точке?

Зарегистрируйся один раз и ты откроешь все 100 статей учебника

А также получишь доступ к видеоурокам и другим бесплатным материалам курса «Подготовка к ЕГЭ с репетитором»

* Если не понравятся бесплатные материалы, ты сможешь отписаться в любой момент

В любой точке оси ординат (это название оси ( displaystyle y), если ты забыл) ( displaystyle x=0).

Значит достаточно подставить ( displaystyle x=0) в функцию, и получим ординату пересечения графика с осью ( displaystyle y):

Теперь по поводу ( displaystyle k). Рассмотрим функцию ( displaystyle left( b=0 right).) Будем менять ( displaystyle k) и смотреть, что происходит с графиком.

Построим графики для ( displaystyle k=-3,text< ->1,text< >0,text< >1,text< >2:)

Так, теперь ясно: ( displaystyle k) влияет на наклон графика.

Чем больше ( displaystyle k) по модулю (то есть несмотря на знак), тем «круче» (под большим углом к оси абсцисс – ( displaystyle Ox)) расположена прямая.

Если ( displaystyle k>0), график наклонен «вправо», при ( displaystyle k

Выберем на графике две точки ( displaystyle A) и ( displaystyle B). Для простоты выберем точку ( displaystyle A) на пересечении графика с осью ординат. Точка ( displaystyle B) – в произвольном месте прямой, пусть ее координаты равны ( displaystyle left( x;y right)).

Рассмотрим прямоугольный треугольник ( displaystyle ABC), построенный на отрезке ( displaystyle AB) как на гипотенузе.

Из рисунка видно, что ( displaystyle AC=x), ( displaystyle BC=y-b).

Подставим ( displaystyle y=kx+b) в ( displaystyle BC:BC=y-b=kx+b-b=kx).

Получается, что ( BC = k cdot AC> Rightarrow >k = frac<><> = nolimits> alpha ).

Итак, коэффициент ( displaystyle k) равен тангенсу угла наклона графика, то есть угла между графиком и осью абсциссс.

Именно поэтому его (коэффициент ( displaystyle k)) обычно называют угловым коэффициентом.

В случае, когда ( k

Если же ( displaystyle k=0), тогда и ( nolimits> alpha = 0,) следовательно ( displaystyle alpha =0), то есть прямая параллельна оси абсцисс.

Понимать геометрическое значение коэффициентов очень важно, оно часто используется в различных задачах на линейную функцию.

Разбор еще 3-х задач на линейную функцию

1. Найдите коэффициенты ( displaystyle k) и ( displaystyle b) линейной функции, график которой приведен на рисунке. Запишите уравнение этой функции.

2. Найдите коэффициенты ( displaystyle k) и ( displaystyle b) линейной функции, график которой приведен на рисунке. Запишите уравнение этой функции.

3. График какой из функций изображен на рисунке?

Решение задачи №1

Коэффициент ( b) найти проще простого – это ведь точка пересечения графика с осью ( displaystyle Oy):

Угловой коэффициент ( displaystyle k) – это тангенс угла наклона прямой.

Для его нахождения выберем две точки ( displaystyle A) и ( displaystyle B) на графике и построим прямоугольный треугольник с гипотенузой ( displaystyle AB):

Теперь можно составить уравнение этой прямой:

Его автор, Алексей Шевчук, ведет наши курсы подготовки к ЕГЭ по математике и информатике.

Приходи, научишься решать задачи любой сложности с самого нуля. Шаг за шагом.

От 2000 до 3990 руб / месяц, 3 раза в неделю по 2 часа.

Решение задачи №2

Все аналогично предыдущей задаче.

Поскольку график наклонен «влево», угол между ним и осью абсцисс тупой, а значит, угловой коэффициент отрицательный.

Чтобы было проще найти тангенс угла наклона ( alpha ), рассмотрим смежный с ним угол ( beta ).

Тангенсы смежных углов равны по модулю, и противоположны по знаку:

Уравнение этой прямой выглядит так:

Решение задачи №3

И снова в первую очередь смотрим на ( displaystyle b:b=3). Значит, есть смысл рассматривать только функции a), b) и d).

Теперь посмотрим, каким должен быть угловой коэффициент?

Во-первых, он должен быть отрицательным, значит, выбрасываем ответ b). Остается a) и d).

Чтобы выбрать из них, придется найти тангенс угла наклона графика:

Отлично, значит уравнение этой прямой выглядит так:

То есть правильный ответ: a.

Точка пересечения графика с осью ординат – это коэффициент ( b). А что можно сказать про точку пересечения с осью абсцисс?

В случае пересечения с осью ( Oy) координата ( x=0). При пересечении оси ( Ox) – аналогично, координата ( y=0):

Да это же простое линейное уравнение!

И действительно, такое линейное уравнение говорит нам, при каких значениях аргумента ( x) функция ( y=0), то есть корни такого уравнения – это координаты точек пересечения графика функции с осью абсцисс.

Это справедливо, кстати, для любой функции/уравнения.

Например, корни квадратного уравнения – это точки пересечения графика квадратичной функции – параболы – с осью ( Ox).

Но подробнее об этом ты узнаешь в темах «Квадратные уравнения» и «Квадратичная функция».

P.S. Анонс платных и бесплатных вебинаров на эту неделю (с 1-го по 7-е февраля 2021)

Вторник. 18-00 мск. Экономическая задача. ЕГЭ 17. Кредиты — 1 — https://youclever.org/prices-math-repetitor-d/

Это 2-й из 4-х уроков курса по экономической задаче. По окончании курса вы сможете решать любую экономическую задачу (в том числе на оптимизацию, где надо знать производную) и получите свои 3 балла на ЕГЭ. Все уроки доступны в записи до 1 августа 2021 года.

Среда. 18-00 мск. Планиметрия ЕГЭ №16. Касательные, касающиеся окружности — https://youclever.org/prices-math-repetitor-d/

Это 9-й из 12-ти уроков на планиметрию. Количество уроков курса говори само за себя. Планиметрия — одна из самых сложных тем. Но мы разберемся со всеми сложностями. Покупайте курс и вы сможете получить 3 балла на ЕГЭ по планиметрии. Все уроки доступны в записи до 1 августа 2021 года.

Пятница. 18-00 мск. Экономическая задача. ЕГЭ 17. Кредиты — 2 — https://youclever.org/prices-math-repetitor-d/

Это 3-й из 4-х уроков курса по экономической задаче. По окончании курса вы сможете решать любую экономическую задачу (в том числе на оптимизацию, где надо знать производную) и получите свои 3 балла на ЕГЭ. Все уроки доступны в записи до 1 августа 2021 года.

Бесплатный воскресный вебинар. 11-00. ЕГЭ 19. Задача — загадка.

Регистрация здесь: https://youclever.org/free-sunday-webinars/ Кстати, зарегистрируйтесь один раз и вы будете получать приглашения на ВСЕ бесплатные вебинары до конца года.

ИНФОРМАТИКА

Это 2-й из 8-ми уроков курса «Цикл с параметром (for). Массивы. Работа с файлами. ЕГЭ №17, 24, 25». Пройдите 8 уроков и вы сможете получить на ЕГЭ целых 4 первичных балла! Все уроки доступны в записи до 1 августа 2021 года.

Четверг. 18-00. Вложенные циклы и сложные условия — https://youclever.org/prices-informatics-repetitor-d/

Это 3-й из 8-ми уроков курса «Цикл с параметром (for). Массивы. Работа с файлами. ЕГЭ №17, 24, 25».

Эта тема чрезвычайно важна! На ЕГЭ по информатике за нее дают целых 4 первичных балла! За 8 уроков мы разберем все, что для этого нужно. Все уроки доступны в записи до 1 августа 2021 года.

Бесплатный воскресный вебинар 11-00. ЕГЭ №26. Жадный алгоритм. Олимпиадная задача и задача ЕГЭ.

Регистрация здесь: https://youclever.org/free-sunday-webinars/ Кстати, зарегистрируйтесь один раз и вы будете получать приглашения на ВСЕ бесплатные вебинары до конца года.

ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ

По всем курсам математики и информатики по каждому уроку предусмотрены домашние задания и их проверка, чтобы вы не только поняли тему, но и САМОЕ ГЛАВНОЕ научились решать задачи.
И еще вы можете задавать вопросы Алексею Шевчуку в закрытой группе Вконтакте.

Приходите на бесплатные вебинары или покупайте курсы и готовьтесь системно вместе с нами!

Источник статьи: http://youclever.org/book/linejnaya-funktsiya-1/


Adblock
detector