Меню

Что такое иррациональное число и как его найти



Иррациональные числа

Определение иррациональных чисел

Иррациональное число — это действительное число, которое невозможно выразить в форме деления двух целых чисел, то есть в рациональной дроби:

Оно может быть выражено в форме бесконечной непериодической десятичной дроби.

Бесконечная периодическая десятичная дробь — это такая дробь, десятичные знаки которой повторяются в виде группы цифр или одного и того же числа.

Примеры иррациональных чисел:

Множество иррациональных чисел договорились обозначать латинской буквой I.

Действительныеили вещественные числа — это все рациональные и иррациональные числа: положительные, отрицательные и нуль.

Если натуральное число n не является точным квадратом, т. е. n ≠ k 2 , где k ∈ Q, то √n — иррациональное число.

Свойства иррациональных чисел

Какие числа являются иррациональными мы уже поняли, но это еще не все. Есть еще важная тема для изучения: их основные свойства.

Свойства иррациональных чисел:

  • результат суммы иррационального числа и рационального равен иррациональному числу;
  • результат умножения иррационального числа на любое рациональное число (≠ 0) равен иррациональному числу;
  • результат вычитания двух иррациональных чисел равен иррациональному числу или рациональному;
  • результат суммы или произведения двух иррациональных чисел равен рациональному или иррациональному, например: √2 * √8 = √16 = 4).

Определение рациональных чисел

А теперь наоборот: рассмотрим противоположное заданной теме определение.

Рациональное число — это такое число, которое можно представить в виде положительной или отрицательной обыкновенной дроби или нуля. Если число можно получить делением двух целых чисел — это число точно рациональное.

Рациональные числа — это те, которые можно представить в виде:

где числитель m — целое число, а знаменатель n — натуральное число.

Рациональные числа – это все натуральные, целые числа, обыкновенные дроби, бесконечные периодические дроби и конечные десятичные дроби.

Множество рациональных чисел принято обозначать латинской буквой Q.

Примеры рациональных чисел:

  • десятичная дробь 1,15 — это 115/100;
  • десятичная дробь 0,2 — это 1/5;
  • целое число 0 — это 0/1;
  • целое число 6 — это 6/1;
  • целое число 1 — это 1/1;
  • бесконечная периодическая дробь 0,33333. — это 1/3;
  • смешанное число это 25/10;
  • отрицательная десятичная дробь -3,16 — это -316/100.

У рациональных чисел есть определенные законы и ряд свойств — рассмотрим каждый их них. Пусть а, b и c — любые рациональные числа.

Основные свойства действий с рациональными числами

  • Переместительное свойство сложения: a + b = b + a.
  • Сочетательное свойство сложения: (a + b) +c = a + (b + c).
  • Сложение рационального числа и нейтрального элемента (нуля) не изменяет это число: a + 0 = a.
  • У каждого рационального числа есть противоположное число, а их сумма всегда равна нулю: a + (-a) = 0.
  • Переместительное свойство умножения: ab = ba.
  • Сочетательное свойство умножения: (a * b) * c = a * (b * c).
  • Произведение рационального числа и едины не изменяет это число: a * 1 = a.
  • У каждого отличного от нуля рационального числа есть обратное число. Их произведение равно единице: a * a−1 = 1.
  • Распределительное свойство умножения относительно сложения: a * (b + c) = a * b + a * c.

Запутаться в числах — плевое дело, но только не в школе Skysmart. Ученикам помогают красочные персонажи интерактивной платформы и заботливые учителя.

Приходите на бесплатный вводный урок математики вместе с ребенком: покажем, как у нас все устроено, порешаем задачки и вдохновим на учебу!

Источник статьи: http://skysmart.ru/articles/mathematic/irracionalnye-chisla

Иррациональные числа

Квалифицированная помощь от опытных авторов

Что такое иррациональные числа

Если в ходе решения математической задачи получилась дробь, в которой нельзя полностью разделить числитель на знаменатель, то это иррациональное число.

Существует еще одно условие принадлежности такой дроби к иррациональным величинам. Это отсутствие периодов в наборе цифр после запятой, т.е. нет периодически повторяемой цифровой последовательности.

Иррациональным называется число, которое нельзя представить в виде законченного частного от деления двух целых величин.

С таким множеством сталкивались еще математики древних веков. Для них, например, было понятно, что диагональ квадрата нельзя разделить на длину его стороны и получить при этом не бесконечную дробь. Аналогичным образом характеризуется соотношение постоянной π выбранной окружности к диаметру.

Говоря простыми словами, если в обычной десятичной дроби после запятой обнаруживается бесконечное количество цифр и в них отсутствует повторяемость периодов, то это представитель иррационального множества.

Для наглядности можно рассмотреть примеры: √2 = 1,41421356. ; -√11= -3.31662…; π = 3,1415926.

Термин, обозначающий данную категорию цифр, произошел в результате сложение двух частей: ratio, что означает «соотношение» и ir, что означает отрицание. В итоге слово «иррациональный» закрепилось за дробями, не способными дать четкое соотношение.

Например, диагональ квадрата, сторона которого равна 1, не может быть представлена рациональным числом, но она имеет определенное числовое выражение. К таким же случаям можно отнести √5, √7, √10. Именно для выражения таких значений введено множество иррациональных чисел, каждое из которых может быть представлено бесконечной непериодической дробью (в отличие от рационального, которое модно представить периодической десятичной дробью).

Виды, место в общей классификации, как обозначаются

В арифметической классификации иррациональным числам выделено четкое место, наравне с рациональными, которые делятся на целые и дробные.

Для обозначения множества используют букву I. Его математическое выражение выглядит так: I=R-Q.

Алгебраические и трансцендентные

В алгебре те величины, которые могут являться квадратными корнями с целыми коэффициентами из многочленов, относятся ко множеству алгебраических. Те же, которые на могут выступать в этой роли, образуют другое множество — трансцендентных.

Происхождение термина «трансцендентный» объясняется его переводом с латыни: transcendentis — выходящий за границы. Таким образом, это величины, которые находятся за пределами множества чисел, которые могут стать квадратным корнем с целым коэффициентом из различных многочленов.

О необходимости введения такого множества впервые заговорил в 1775 году Леонард Эйлер. Стоит отметить, что во время его деятельности еще не было известно никаких трансцендентных значений.

Вычислить их пример не удавалось математикам и в последующие много лет. Лишь в 1844 году Ж.Луивилль привел всем их пример. Его теореме досталось лидирующее место в теории диофантовых приближений.

Алгебраические числа плохо приближаются рациональными, в частности, если алгебраическое число αn (n — наименьшая степень многочлена P(x) с целыми коэффициентами такого, что P(α)=0), то для любой дроби p/q справедливо выражение:

Где С — константа, зависящая от α.

Все числа типа m/n, где n отлично от нуля, а m и n представлены целыми значениями, являются алгебраическими. Для них справедливо равенство: nx-m=0.

К понятию «алгебраические», кроме рациональных, отнесены иррациональные, для которых характерна формула n √m. При этом m и n представлены целыми числами, а n больше либо равно 2.

При любых действиях с алгебраическими числами (сложение, вычитание, деление либо умножение) результат решения будет алгебраической величиной. Кроме этого, алгебраическими будут корни многочленов, коэффициенты которых также отнесены к этому множеству.

Для чего они используются

В математике использование иррациональных чисел объясняется списком их свойств. Например, возможность точного определения величины, полученной в результате извлечения квадратного корня из 2-х, не всегда нужна. Так, в геометрии измерения длины гипотенузы часто производят приблизительно (1,4, 1,41 и т.д.). Извлечение точного квадратного корня из 2-х понадобится только при работе с абстрактной математической моделью.

Однако такие ситуации в науке существуют. Поэтому существование множества иррациональных чисел оправданно. С помощью них можно высчитать дедекиндово сечение в рациональных числах, у которых отсутствует самое большое в нижнем сегменте и самое малое — в верхнем.

Представители иррациональных значений позволяют уплотнить числовую прямую с нанесенными рациональными значениями, таким образом, что между каждой такой парой можно записать иррациональное.

Бывают случаи, что, складывая два иррациональных значения, получают рациональное.

Например, в результате сложения корня из семи (любой степени) и такого корня из семи, только со знаком минус, получается рациональное число — 0.

Сумма двух положительных иррациональных чисел также может быть рациональным значением. Однако при сложении рационального и иррационального в итоге всегда получается представитель иррациональных. Такое свойство называется отсутствием у множества замкнутости.

Исходя из сказанного, следует сделать вывод, что введение множества иррациональных чисел необходимо для увеличения точности. Например, когда между натуральными числами единицей и двойкой не было промежуточных величин, нужно было ее ввести для расширения диапазона точности.

Как вычислить иррациональное число, действия

Чтобы вычислить иррациональное число проще всего предположить, что оно рациональное и его реально представить в виде дроби p/q, не поддающейся сокращению. В результате преобразующих действий доказывается, что натуральные p и q не являются взаимно простыми. Тогда понятно, что это именно иррациональное значение, а предположение о рациональности взятой дроби ошибочно.

В целом же под понятием «иррациональное» понимается число, записать которое в виде десятичной дроби невозможно. Часть после запятой будет бесконечной:

«золотого сечения» 1,61803398…

При этом степень точности результата зависит от количества знаков, взятых после запятой.

Правда, при описании таких величин чаще используют логарифмы, корни, степени и т.п.

Чтобы в текущий момент определить принадлежность данного числа к категории иррациональных, можно воспользоваться онлайн калькулятором, в котором можно произвести вычисления до оговоренной точности.

Задание: рассчитать рациональность заданных значений.

На калькуляторе нужно задать число в виде правильной дроби (по определению, оно рациональное). Исходя из этого, результативным будет определение иррационального компонента для выражений в виде корней (со степенью n).

  • 2 √2 = 1,414 (иррациональное);
  • 3 √27 = 3 (рациональное);
  • 5 √147 = 2,713 (иррациональное).

Видим, что, имея дело с квадратными и кубическими корнями, извлекаемая величина может быть рациональной.

Получите помощь лучших авторов по вашей теме

Источник статьи: http://wiki.fenix.help/matematika/irracionalnye-chisla


Adblock
detector