Меню

Что такое инфинум и супремум функции и как найти



Ограниченные множества. Супремум и инфимум | матан #002

Определение. Множество $Xsubsetmathbb$ называется ограниченным сверху, если существует число $b$ такое, что $$forall,xin X to xle b.$$ При этом говорят, что число $b$ ограничивает множество $X$ сверху.

Определение. Множество $Xsubsetmathbb$ называется ограниченным снизу, если существует число $a$ такое, что $$forall,xin X to xge a.$$ При этом говорят, что число $a$ ограничивает множество $X$ снизу.

Определение. Множество $Xsubsetmathbb$ называется ограниченным, если оно ограничено и сверху и снизу.

Определение. Множество $Xsubsetmathbb$ называется неограниченным сверху, если оно не является ограниченным сверху.

Определение. Множество $Xsubsetmathbb$ называется неограниченным снизу, если оно не является ограниченным снизу.

Определение. Множество $Xsubsetmathbb$ называется неограниченным, если оно не является ограниченным.

Определение. Верхней гранью непустого множества $Xsubsetmathbb$ называется число $b$, удовлетворяющее условиям:

  • $forall,xin X to xle b$;
  • $forall,b’ b’$
    ($forall,varepsilon>0 to exists,xin X: x > b — varepsilon$).

Определение. Нижней гранью непустого множества $Xsubsetmathbb$ называется число $a$, удовлетворяющее условиям:

  • $forall,xin X to xge a$;
  • $forall,a’> a to exists,xin X: x 0 to exists,xin X: x c’,$$так что второе условие также выполнено.

Следовательно, $c=sup A$, и теорема доказана.

Определение. Расширенным множеством действительных чисел $overline>$> называется множество $$ overline> = mathbbcup<-infty>cup<+infty>. $$ То есть элементами множества $overline>$ являются все действительные числа и еще два символа: $<-infty>$, $<+infty>$.

В множестве $overline>$ не введены сложение и умножение, но имеется отношение порядка. Для двух элементов $a,binoverline>$ в случае $a,binmathbb$ отношение порядка то же, что в $mathbb$. В других же случаях оно определено так: $$forall,ainmathbb to <-infty>

Рассматривая множество $Xsubsetmathbb$ как подмножество расширенного множества действительных чисел ($Xsubsetoverline>$), можно обобщить понятие $sup X$. Это обобщающее определение будет отличаться от приведенных выше лишь тем, что в качестве $b$ можно брать не только число, но и элемент $<+infty>$.

Тогда получим, что для непустого неограниченного сверху числовогомножества $X$ $$sup X = +infty.$$

Учитывая предыдущую теорему, получаем, что всякое непустое числовое множество имеет в расширенном множестве действительных чисел $overline>$ верхнюю грань.

Замечание. Все изложенные выше утверждения очевидным образом переносятся на понятие нижней грани.

Источник статьи: http://trushinbv.ru/studentam/1-kurs/156-ogranichennye-mnozhestva-supremum-i-infimum

∀ x, y, z

Что такое супремум и инфимум?

Число называется верхней границей множества , если любое число не превосходит . Иными словами, — верхняя граница множества , если .

Множество называется ограниченным сверху, если оно имеет хотя бы одну верхнюю границу.

Если множество ограничено сверху, то его минимальная верхняя граница называется точной верхней границей, или супремумом, и обозначается .

Минимальность верхней границы означает, что ее нельзя уменьшить. Если мы уменьшим супремум на любое небольшое 0$» title=»$varepsilon>0$»>, то число уже не будет верхней границей для множества , то есть найдется число , для которого уже не является верхней границей, то есть будет верно неравенство s-varepsilon$» title=»$x_0 > s-varepsilon$»>.

Определение супремума в формальной записи:

, если
1) — верхняя граница , то есть ;
2) — минимальная верхняя граница , то есть 0 exists x_0in X colon x_0> s-varepsilon$» title=»$forall varepsilon>0 exists x_0in X colon x_0> s-varepsilon$»>.

Аналогично определяется нижняя граница и точная нижняя граница как максимум всех нижних границ.

Число называется нижней границей множества , если любое число не меньше . Иными словами, — нижняя граница , если .

Множество называется ограниченным снизу, если оно имеет хотя бы одну нижнюю границу.

Если множество ограничено снизу, то его максимальная нижняя граница называется точной нижней границей, или инфимумом, и обозначается .

Определение инфимума в формальной записи:

, если
1) — нижняя граница , то есть ;
2) — максимальная нижняя граница , то есть 0 exists x_0in X colon x_0 0 exists x_0in X colon x_0 .

Множество натуральных чисел не органичено сверху, поэтому и супремума у него нет.

По определению можно показать, что .
Так как , то есть 1 — нижняя граница.
Так как 0 1 0 1 , то 1 — максимальная нижняя граница.

Источник статьи: http://forany.xyz/t-79

Инфимум и супремум — Infimum and supremum

В математике , то нижняя грань (сокращенно инф ; множественные инфимумы ) из подмножества S множества А частично упорядоченное множество Т представляет собой наибольший элемент в T , который меньше или равен для всех элементов S , если такой элемент существует. Следовательно, термин наибольшая нижняя граница (сокращенно GLB ) также широко используется.

Супремумом (сокращенно SUP ; множественном супремумами ) подмножества S из частично упорядоченное множество Т является наименьшим элементом в Т , которое больше или равно ко всем элементам S , если такой элемент существует. Следовательно, супремум также называется наименьшей верхней границей (или LUB ).

Инфимум в точном смысле двойственен концепции супремума. Инфима и верхняя граница действительных чисел — частные частные случаи, которые важны в анализе , особенно в интеграции Лебега . Однако общие определения остаются в силе и в более абстрактных условиях теории порядка, где рассматриваются произвольные частично упорядоченные множества.

Понятия infimum и supremum аналогичны минимальному и максимальному , но они более полезны при анализе, поскольку они лучше характеризуют специальные множества, которые могут не иметь минимума или максимума . Например, набор положительных действительных чисел ℝ + (не включая 0) не имеет минимума, потому что любой заданный элемент ℝ + можно просто разделить пополам, что приведет к меньшему числу, которое все еще находится в + . Однако существует ровно одна нижняя грань положительных действительных чисел: 0, которая меньше всех положительных действительных чисел и больше любого другого действительного числа, которое может использоваться в качестве нижней границы.

Содержание

Формальное определение

Нижняя граница подмножества S частично упорядоченного множества ( P , ≤) является элементом из Р такой , что

Нижняя граница из S называется нижняя грань (или нижняя грань или встречаются ) из S , если

  • для всех нижних границ y множества S в P , ya ( a больше или равно любой другой нижней границе).

Аналогично, верхняя граница подмножества S частично упорядоченного множества ( P , ≤) — это элемент b из P такой, что

Верхняя граница b для S называется супремумом (или точной верхней границей , или объединением ) S, если

  • для всех верхних оценок z группы S в P , zb ( b меньше любой другой верхней границы).

Существование и уникальность

Инфима и супрема не обязательно существуют. Существование нижней грани подмножества S из P может потерпеть неудачу, если S вообще не имеет нижней границы или если набор нижних границ не содержит наибольшего элемента. Однако, если нижняя грань или супремум существует, она уникальна.

Следовательно, частично упорядоченные множества, для которых, как известно, существуют определенные инфимы, становятся особенно интересными. Например, решетка — это частично упорядоченное множество, в котором все непустые конечные подмножества имеют как верхнюю, так и нижнюю границу, а полная решетка — это частично упорядоченное множество, в котором все подмножества имеют как верхнюю, так и нижнюю границу. Более подробную информацию о различных классах частично упорядоченных множеств, которые возникают из таких соображений, можно найти в статье о свойствах полноты .

Если супремум подмножества S существует, он уникален. Если S содержит наибольший элемент, то этот элемент является супремумом; в противном случае супремум не принадлежит S (или не существует). Точно так же, если нижняя грань существует, она уникальна. Если S содержит наименьший элемент, то этот элемент является точным; в противном случае нижняя грань не принадлежит S (или не существует).

Отношение к максимальным и минимальным элементам

Инфимум подмножества S частично упорядоченное множество Р , предполагая , что она существует, не обязательно принадлежит S . Если это произойдет, это минимальное или наименьший элемент из S . Аналогичным образом , если верхняя грань S принадлежит S , это максимальное или наибольший элемент из S .

Например, рассмотрим набор отрицательных действительных чисел (исключая ноль). В этом наборе нет наибольшего элемента, поскольку для каждого элемента набора существует другой, более крупный элемент. Например, для любого отрицательного действительного числа x существует другое отрицательное действительное число , которое больше. С другой стороны, каждое действительное число, большее или равное нулю, безусловно, является верхней границей этого множества. Следовательно, 0 — это наименьшая верхняя граница отрицательных действительных чисел, поэтому супремум равен 0. Это множество имеет супремум, но не наибольший элемент. Икс 2 < displaystyle < tfrac <2>>>

Однако определение максимальных и минимальных элементов более общее. В частности, в наборе может быть много максимальных и минимальных элементов, а нижняя и верхняя границы уникальны.

В то время как максимумы и минимумы должны быть членами рассматриваемого подмножества, нижняя грань и верхняя грань подмножества не обязательно должны быть членами этого подмножества.

Минимальные верхние границы

Наконец, частично упорядоченное множество может иметь много минимальных верхних границ без точной верхней границы. Минимальные верхние границы — это те верхние границы, для которых не существует строго меньшего элемента, который также является верхней границей. Это не означает, что каждая минимальная верхняя граница меньше всех других верхних оценок, это просто не больше. Различие между «минимальным» и «минимальным» возможно только в том случае, если данный заказ не является полным . В полностью упорядоченном наборе, как и в реальных числах, концепции те же.

В качестве примера, пусть S — множество всех конечных подмножеств натуральных чисел, и рассмотрим частично упорядоченное множество, полученное путем взятия всех множеств из S вместе с множеством целых чисел ℤ и множеством положительных действительных чисел + , упорядоченных по включению подмножеств как указано выше. Тогда ясно, что и ℤ, и + больше всех конечных множеств натуральных чисел. Тем не менее, ни + не меньше, ни обратное: оба набора являются минимальными верхними границами, но ни одно из них не является супремумом.

Свойство с наименьшей верхней границей

Свойство наименьшей верхней границы является примером вышеупомянутых свойств полноты, которые типичны для набора действительных чисел. Это свойство иногда называют дедекиндовской полнотой .

Если упорядоченное множество S обладает тем свойством , что каждое непустое подмножество S , имеющий верхнюю границу также имеет верхнюю грань, то S называется иметь наименее верхнюю границу собственности. Как отмечалось выше, множество ℝ всех действительных чисел имеет свойство наименьшей верхней границы. Аналогично, множество integ целых чисел обладает свойством наименьшей верхней границы; если S — непустое подмножество ℤ и существует некоторое число n такое, что каждый элемент s из S меньше или равен n , то существует точная верхняя граница u для S , целое число, которое является верхней границей для S и меньше или равна любой другой верхней границы для S . Упорядоченная комплект также имеет наименее верхнюю границу собственности, а пустое подмножество имеет также верхнюю грань: минимум всего набора.

Примером набора, в котором отсутствует свойство наименьшей верхней границы, является ℚ, набор рациональных чисел. Пусть S — множество всех рациональных чисел q таких, что q 2 √ 2 и p ) существует некоторое рациональное p ′, которое само должно быть наименьшей верхней границей (если p > √ 2 ) или членом S больше p (если p √ 2 ). Другой пример — гиперреалы ; не существует точной верхней границы множества положительных бесконечно малых.

Имеется соответствующее свойство «наибольшая нижняя граница»; упорядоченный набор обладает свойством наибольшей нижней границы тогда и только тогда, когда он также обладает свойством наименьшей верхней границы; наименьшая верхняя граница набора нижних границ набора является наибольшей нижней границей, а наибольшая нижняя граница набора верхних границ набора является наименьшей верхней границей набора.

Если в частично упорядоченном множестве P каждое ограниченное подмножество имеет верхнюю грань, это применимо также для любого множества X в функциональном пространстве, содержащем все функции от X до P , где fg тогда и только тогда, когда f ( x ) ≤ g ( х ) для всех х в X . Например, это применимо к действительным функциям, и, поскольку они могут рассматриваться как частные случаи функций, к действительным n -наборам и последовательностям действительных чисел.

Свойство наименьшей верхней границы является индикатором супремы.

Инфима и супрема действительных чисел

В анализе , и супремумах нижних гранях подмножеств S этих действительных чисел имеют особенно важное значение. Например, отрицательные действительные числа не имеют наибольшего элемента, а их верхняя грань равна 0 (что не является отрицательным действительным числом). Полнота действительных чисел влечет (и эквивалентно) , что любой ограниченный непустое подмножество S действительных чисел имеет инфимум и супремум. Если S не ограничена снизу, часто формально пишут inf ( S ) = −∞. Если S является пустым , выписывается Inf ( S ) = + ∞.

Свойства

Следующие формулы зависят от обозначения, которое удобно обобщает арифметические операции на множествах: Пусть множества A , B ⊆ ℝ и скаляр λ ∈ ℝ . Определить

  • λ · A = < λ · a : aA >; скалярное произведение набора — это просто скаляр, умноженный на каждый элемент в наборе.
  • A + B = < a + b : aA , bB >; арифметическая сумма двух наборов — это сумма всех возможных пар чисел, по одной из каждого набора.
  • A · B = < a · b : aA , bB >; арифметическое произведение двух наборов — это все произведения пар элементов, по одному из каждого набора.

В тех случаях, когда существуют нижняя и верхняя граница множеств A и B , выполняются следующие тождества:

  • р = инф тогда и только тогда когда для любого е > 0 существует х ∈ с х , а хр для любого х ∈ .
  • р = SUP тогда и только тогда когда для любых х > 0 существует йA с й >ре , и хр для каждого х ∈ .
  • Если ⊆ B , то инф ≥ инф Б и вир ≤ SUP B .
  • Если λ ≥ 0, то inf ( λ · A ) = λ · (inf A ) и sup ( λ · A ) = λ · (sup A ).
  • Если λ ≤ 0, то inf ( λ · A ) = λ · (sup A ) и sup ( λ · A ) = λ · (inf A ).
  • inf ( A + B ) = (inf A ) + (inf B ) и sup ( A + B ) = (sup A ) + (sup B ).
  • Если A , B — непустые множества положительных действительных чисел, то inf ( A · B ) = (inf A ) · (inf B ); аналогично для suprema.

Двойственность

Если обозначить через P op частично упорядоченное множество P с отношением противоположного порядка, т.е.

тогда нижняя грань подмножества S в P равна верхней грани S в P op и наоборот.

Для подмножеств действительных чисел имеет место другой вид двойственности: inf S = −sup (- S ), где — S = <- s | sS >.

Примеры

Инфима

  • Нижняя грань набора чисел <2, 3, 4>равна 2 . Число 1 — это нижняя грань, но не точная нижняя грань и, следовательно, не точная нижняя грань.
  • В более общем смысле, если набор имеет наименьший элемент, то наименьший элемент является точной нижней гранью для набора. В этом случае его еще называют минимумом набора.
  • инф < 1 , 2 , 3 , … >знак равно 1. < Displaystyle Inf <1,2,3, ldots >= 1.>
  • инф < Икс ∈ р ∣ 0 Икс 1 >знак равно 0. < displaystyle inf mid 0
  • 2right>=]<2>>.>»> инф < Икс ∈ Q ∣ Икс 3 >2 > знак равно 2 3 . < displaystyle inf left mid x ^ <3>> 2 right > = < sqrt [<3>] <2>>.>2 right > = < sqrt [<3>] <2>>.>»>
  • инф < ( - 1 ) п + 1 п ∣ п знак равно 1 , 2 , 3 , … >знак равно — 1. < displaystyle inf left <(- 1) ^ + < tfrac <1>> mid n = 1,2,3, ldots right > = — 1.>
  • Если xn — убывающая последовательность с пределом x , то inf xn = x .

Супрема

  • Верхняя грань набора чисел <1, 2, 3>равна 3 . Число 4 является верхней границей, но не наименьшей верхней границей и, следовательно, не является супремумом.
  • суп < Икс ∈ р ∣ 0 Икс 1 >знак равно суп < Икс ∈ р ∣ 0 ≤ Икс ≤ 1 >знак равно 1. < Displaystyle sup mid 0
  • суп < ( - 1 ) п - 1 п ∣ п знак равно 1 , 2 , 3 , … >знак равно 1. < displaystyle sup left <(- 1) ^ — < tfrac <1>> mid n = 1,2,3, ldots right > = 1.>
  • суп < а + б ∣ а ∈ А , б ∈ B >знак равно суп А + суп B . < Displaystyle sup = sup A + sup B.>
  • суп < Икс ∈ Q ∣ Икс 2 2 >знак равно 2 . < displaystyle sup mid x ^ <2>

В последнем примере, супремумом множества рациональных чисел является иррациональным , что означает , что рациональные являются неполными .

Одно из основных свойств супремума:

Супремум подмножества S в (ℕ, |), где | обозначает « делит », является наименьшее общее кратное элементов S .

Грань подмножества S из ( P , ⊆), где Р представляет собой набор мощности некоторого множества, является верхней гранью относительно ⊆ (подмножество) подмножеств S из P является объединением элементов S .

Источник статьи: http://ru.qaz.wiki/wiki/Infimum_and_supremum


Adblock
detector