Меню

Что такое дискриминант квадратного уравнения и как его найти



Решение квадратных уравнений

Квадратные уравнения изучают в 8 классе, поэтому ничего сложного здесь нет. Умение решать их совершенно необходимо.

— это уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где коэффициенты a , b и c — произвольные числа, причем a ≠ 0.

Прежде, чем изучать конкретные методы решения, заметим, что все квадратные уравнения можно условно разделить на три класса:

  1. Не имеют корней;
  2. Имеют ровно один корень;
  3. Имеют два различных корня.

В этом состоит важное отличие квадратных уравнений от линейных, где корень всегда существует и единственен. Как определить, сколько корней имеет уравнение? Для этого существует замечательная вещь — дискриминант.

Дискриминант

Пусть дано квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0. Тогда — это просто число D = b 2 − 4 ac .

Эту формулу надо знать наизусть. Откуда она берется — сейчас неважно. Важно другое: по знаку дискриминанта можно определить, сколько корней имеет квадратное уравнение. А именно:

  1. Если D D = 0, есть ровно один корень;
  2. Если D > 0, корней будет два.

Обратите внимание: дискриминант указывает на количество корней, а вовсе не на их знаки, как почему-то многие считают. Взгляните на примеры — и сами все поймете:

Задача. Сколько корней имеют квадратные уравнения:

  1. x 2 − 8 x + 12 = 0;
  2. 5 x 2 + 3 x + 7 = 0;
  3. x 2 − 6 x + 9 = 0.

Выпишем коэффициенты для первого уравнения и найдем дискриминант:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 · 1 · 12 = 64 − 48 = 16

Итак, дискриминант положительный, поэтому уравнение имеет два различных корня. Аналогично разбираем второе уравнение:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 − 4 · 5 · 7 = 9 − 140 = −131.

Дискриминант отрицательный, корней нет. Осталось последнее уравнение:
a = 1; b = −6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 · 1 · 9 = 36 − 36 = 0.

Дискриминант равен нулю — корень будет один.

Обратите внимание, что для каждого уравнения были выписаны коэффициенты. Да, это долго, да, это нудно — зато вы не перепутаете коэффициенты и не допустите глупых ошибок. Выбирайте сами: скорость или качество.

Кстати, если «набить руку», через некоторое время уже не потребуется выписывать все коэффициенты. Такие операции вы будете выполнять в голове. Большинство людей начинают делать так где-то после 50-70 решенных уравнений — в общем, не так и много.

Корни квадратного уравнения

Теперь перейдем, собственно, к решению. Если дискриминант D > 0, корни можно найти по формулам:

Основная формула корней квадратного уравнения

Когда D = 0, можно использовать любую из этих формул — получится одно и то же число, которое и будет ответом. Наконец, если D x 2 − 2 x − 3 = 0;

  • 15 − 2 x − x 2 = 0;
  • x 2 + 12 x + 36 = 0.
  • Первое уравнение:
    x 2 − 2 x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = −3;
    D = (−2) 2 − 4 · 1 · (−3) = 16.

    D > 0 ⇒ уравнение имеет два корня. Найдем их:

    Второе уравнение:
    15 − 2 x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
    D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

    D > 0 ⇒ уравнение снова имеет два корня. Найдем их

    Наконец, третье уравнение:
    x 2 + 12 x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
    D = 12 2 − 4 · 1 · 36 = 0.

    D = 0 ⇒ уравнение имеет один корень. Можно использовать любую формулу. Например, первую:

    Как видно из примеров, все очень просто. Если знать формулы и уметь считать, проблем не будет. Чаще всего ошибки возникают при подстановке в формулу отрицательных коэффициентов. Здесь опять же поможет прием, описанный выше: смотрите на формулу буквально, расписывайте каждый шаг — и очень скоро избавитесь от ошибок.

    Неполные квадратные уравнения

    Бывает, что квадратное уравнение несколько отличается от того, что дано в определении. Например:

    Несложно заметить, что в этих уравнениях отсутствует одно из слагаемых. Такие квадратные уравнения решаются даже легче, чем стандартные: в них даже не потребуется считать дискриминант. Итак, введем новое понятие:

    Уравнение ax 2 + bx + c = 0 называется , если b = 0 или c = 0, т.е. коэффициент при переменной x или свободный элемент равен нулю.

    Разумеется, возможен совсем тяжелый случай, когда оба этих коэффициента равны нулю: b = c = 0. В этом случае уравнение принимает вид a x 2 = 0. Очевидно, такое уравнение имеет единственный корень: x = 0.

    Рассмотрим остальные случаи. Пусть b = 0, тогда получим неполное квадратное уравнение вида ax 2 + c = 0. Немного преобразуем его:

    Решение неполного квадратного уравнения

    Поскольку арифметический квадратный корень существует только из неотрицательного числа, последнее равенство имеет смысл исключительно при (− c / a ) ≥ 0. Вывод:

    1. Если в неполном квадратном уравнении вида ax 2 + c = 0 выполнено неравенство (− c / a ) ≥ 0, корней будет два. Формула дана выше;
    2. Если же (− c / a ) c / a ) ≥ 0. Достаточно выразить величину x 2 и посмотреть, что стоит с другой стороны от знака равенства. Если там положительное число — корней будет два. Если отрицательное — корней не будет вообще.

    Теперь разберемся с уравнениями вида ax 2 + bx = 0, в которых свободный элемент равен нулю. Тут все просто: корней всегда будет два. Достаточно разложить многочлен на множители:

    Вынесение общего множителя за скобку

    Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда находятся корни. В заключение разберем несколько таких уравнений:

    Задача. Решить квадратные уравнения:

    x 2 − 7 x = 0 ⇒ x · ( x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.

    5 x 2 + 30 = 0 ⇒ 5 x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Корней нет, т.к. квадрат не может быть равен отрицательному числу.

    4 x 2 − 9 = 0 ⇒ 4 x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 = −1,5.

    Источник статьи: http://www.berdov.com/docs/equation/quadratic_equations/

    Как найти дискриминант квадратного уравнения

    Понятие квадратного уравнения

    Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Значение неизвестных нужно найти так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство.

    Например, возьмем выражение 8 + 4 = 12. При вычислении левой части получается верное числовое равенство, то есть 12 = 12.

    Уравнением можно назвать выражение 8 + x = 12, с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.

    Степень уравнения можно определить по наибольшей степени, в которой стоит неизвестное. Если неизвестное стоит во второй степени, значит, такое уравнение является квадратным.

    Квадратное уравнение — это ax 2 + bx + c = 0, где a — первый или старший коэффициент, не равный нулю, b — второй коэффициент, c — свободный член.

    Есть три вида квадратных уравнений:

    • не имеют корней;
    • имеют один корень;
    • имеют два различных корня.

    Чтобы ваш ребенок легко справиться с будущими экзаменами, запишите его на курс подготовки к ОГЭ или ЕГЭ по математике в Skysmart. На занятиях с личным преподавателем он потренируется решать пробные варианты экзамена на время, увидит свои сильные и слабые стороны, разберется в каждой сложной теме и выработает тактику поведения на экзамене, чтобы добиться отличных результатов без стресса.

    Записывайтесь на бесплатный пробный урок математики: познакомим с платформой, наметим программу обучения и вдохновим ребенка.

    Понятие дискриминанта

    Дискриминант квадратного уравнения — это выражение, которое находится под корнем в формуле нахождения корней квадратного уравнения. Дискриминант в переводе с латинского означает «отличающий» или «различающий» и обозначается буквой D.

    Дискриминант — отличный помощник, чтобы понять, сколько в уравнении корней.

    Чаще всего для поиска дискриминанта используют формулу:

    В этом ключе универсальная формула для поиска корней квадратного уравнения выглядит так:

    Эта формула подходит даже для неполных квадратных уравнений.

    Но есть и другие формулы — все зависит от вида уравнения. Чтобы в них не запутаться, сохраняйте табличку или распечатайте ее и храните в учебнике.

    Как решать квадратные уравнения через дискриминант

    В 8 классе на алгебре можно встретить задачу по поиску действительных корней квадратного уравнения. Для этого важно перед использованием формул найти дискриминант и убедиться, что он неотрицательный. Только после этого вычисляем значения корней. Если дискриминант отрицательный, значит уравнение не имеет действительных корней.

    Алгоритм решения квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0:

    • как найти дискрининант: D = b 2 − 4ac;
    • если дискриминант отрицательный — зафиксировать, что действительных корней нет;
    • если дискриминант равен нулю — вычислить единственный корень уравнения по формуле х = — b 2 /2a;
    • если дискриминант положительный — найти два действительных корня квадратного уравнения по формуле корней

    А вот и еще одна табличка: в ней вы найдете формулы для поиска корней квадратных уравнений при помощи дискриминанта:

    Чтобы запомнить алгоритм решения квадратных уравнений и с легкостью его использовать, важно практиковаться. Вперед!

    Примеры решения квадратных уравнений с помощью дискриминанта

    Пример 1. Решить уравнение: 3x 2 — 4x + 2 = 0.

    1. Определим коэффициенты: a = 3, b = -4, c = 2.
    2. Найдем дискриминант: D = b 2 — 4ac = (-4) 2 — 4 * 3 * 2 = 16 — 24 = -8.

    1. Определим коэффициенты: a = 1, b = -6, c = 9.
    2. Найдем дискриминант: D = b 2 — 4ac = (-6) 2 — 4 * 1 * 9 = 36 — 36 = 0.
    3. D = 0, значит уравнение имеет один корень:

    Пример 3. Решить уравнение: x 2 — 4x — 5 = 0.

    1. Определим коэффициенты: a = 1, b = -4, c = -5.
    2. Найдем дискриминант: D = b 2 — 4ac = (-4) 2 — 4 * 1 * (-5) = 16 + 20 = 36.
    3. D > 0, значит уравнение имеет два корня:

    Ответ: два корня x1 = 5, x2 = -1.

    Источник статьи: http://skysmart.ru/articles/mathematic/kak-najti-diskriminant-kvadratnogo-uravneniya


    Adblock
    detector