Меню

Что такое диагональ трапеции и как ее найти



Все формулы диагоналей трапеции

Найти длину диагонали трапеции

или высоту, сторону и угол

или площадь, другую диагональ и угол

и еще много других формул.

1. Формулы длины диагоналей трапеции по теореме косинусов или через четыре стороны

a — нижнее основание

b — верхнее основание

c , d — боковые стороны

d 1 , d 2 — диагонали трапеции

Формулы диагоналей трапеции по теореме косинусов:

Формулы диагоналей трапеции через четыре стороны :

2. Формула длины диагоналей трапеции через высоту

a — нижнее основание

b — верхнее основание

c , d — боковые стороны

h — высота трапеции

d 1 , d 2 — диагонали трапеции

Формулы диагоналей трапеции через высоту:

3. Формула длины диагонали трапеции через другую диагональ

a — нижнее основание

b — верхнее основание

α , β — углы между диагоналями

h — высота трапеции

m — средняя линия трапеции

S — площадь трапеции

d 1 , d 2 — диагонали трапеции

Формулы диагоналей трапеции :

Справедливо для данного случая :

4. Формулы длины диагонали трапеции через сумму квадратов диагоналей

a — нижнее основание

b — верхнее основание

c , d — боковые стороны

d 1 , d 2 — диагонали трапеции

Источник статьи: http://www-formula.ru/trapeze-diagonal

Как найти диагональ трапеции?

Прежде, чем разбираться, как найти диагональ трапеции, вспомним, что такое трапеция. В планиметрии трапецией называют четырехугольник, у которого две противоположные стороны параллельны друг другу. Эти параллельные стороны называют основаниями трапеции, а остальные — боковыми сторонами. Боковые стороны могут быть одинаковыми, тогда мы имеем дело с равнобедренной трапецией.

Далее подробно разберем порядок нахождения длины диагоналей для общего случая — неравнобедренной трапеции. При этом будем исходить из того, что исходными данными являются длины всех четырех сторон трапеции, углы у основания неизвестны.

Расчет диагонали трапеции

В изображенной на рисунке трапеции ABCD имеются две диагонали AC и BD. Порядок нахождения их длины одинаков, поэтому рассмотрим все на примере нахождения диагонали BD, противолежащей ˂BAD.

Диагональ BD одновременно является стороной треугольника ABD и может быть рассчитана по теореме косинусов с помощью формулы:

BD = √(AB 2 +AD 2 -2AB . AD . cos ˂BAD)

В этой формуле нам известны все величины, кроме косинуса ˂BAD. Чтобы вычислить его, нам необходимо будет выполнить небольшое преобразование рисунка. «Вырежем» из исходной трапеции прямоугольник BNMC. В результате получим треугольник ABD’, в котором сторона BD’ будет равна стороне трапеции CD.

˂BAD’ в треугольнике равен ˂BAD в трапеции, так как никаких преобразований с треугольником ABN мы не выполняли. Итак, в этом треугольнике ABD’ сторона AB нам известна, сторона BD’ = CD, а сторона AD’ = AD – NM = AD – BC.

Получается, что по теореме косинусов cos ˂BAD = cos ˂BAD’ = (AB 2 + AD’ 2 – BD’ 2 )/2AB . AD’ = (AB 2 +(AD – BC) 2 – CD 2 )/2AB . (AD – BC)

Подставив теперь полученное выражение в найденную ранее формулу, получим:

BD = √(AB 2 +AD 2 -2AB . AD . cos ˂BAD) = √(AB 2 +AD 2 -2AB . AD . (AB 2 +(AD – BC) 2 – CD 2 )/2AB . (AD – BC)) = √(AB 2 + AD 2 – AD . (AB 2 +(AD – BC) 2 – CD 2 )/(AD – BC)) = √(AB 2 + AD 2 – AD . (AD – BC) 2 /(AD – BC) – AD . (AB 2 – CD 2 )/(AD – BC)) = √(AB 2 + AD 2 – AD 2 + AD . BC – AD . (AB 2 – CD 2 )/(AD – BC)) = √(AB 2 + AD . BC – AD . (AB 2 – CD 2 )/(AD – BC))

BD = √(AB 2 + AD . BC – AD . (AB 2 – CD 2 )/(AD – BC))

Полученная формула диагонали трапеции справедлива для любых значений длин сторон исходного четырехугольника.

Для второй диагонали формула соответственно примет вид:

AC = √(CD 2 + AD . BC – AD . (CD 2 – AB 2 )/(AD – BC))

Диагональ равнобедренной трапеции

Если вас интересует, как найти диагональ равнобедренной трапеции, получившуюся формулу можно значительно упростить. Ведь в равнобедренной трапеции AB = CD, следовательно AB 2 – CD 2 = 0 и формула длины диагонали приводится к виду:

Диагонали равнобедренной трапеции равны друг другу, поэтому вторая диагональ находится по той же формуле.

В том случае, если исходными данными являются длины оснований трапеции, одна из боковых сторон и углы при основании, то задача нахождения диагонали трапеции сводится к расчету стороны треугольника по теореме косинусов.

Источник статьи: http://elhow.ru/ucheba/geometrija/planimetrija/kak-najti-diagonal-trapecii

Диагонали трапеции

Свойства диагоналей трапеции

  1. Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции равен половине разности оснований
  2. Треугольники, образованные основаниями трапеции и отрезками диагоналей до точки их пересечения — подобны
  3. Треугольники, образованные отрезками диагоналей трапеции, стороны которых лежат на боковых сторонах трапеции — равновеликие (имеют одинаковую площадь)
  4. Если продлить боковые стороны трапеции в сторону меньшего основания, то они пересекутся в одной точке с прямой, соединяющей середины оснований
  5. Отрезок, соединяющий основания трапеции, и проходящий через точку пересечения диагоналей трапеции, делится этой точкой в пропорции, равной соотношению длин оснований трапеции
  6. Отрезок, параллельный основаниям трапеции, и проведенный через точку пересечения диагоналей, делится этой точкой пополам, а его длина равна 2ab/(a + b), где a и b — основания трапеции

Свойства отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции

Свойства треугольников, образованных диагоналями трапеции

Свойства треугольников, лежащих на боковой стороне и диагоналях трапеции

Свойства трапеции, достроенной до треугольника

  • Треугольники, образованные основаниями трапеции с общей вершиной в точке пересечения продленных боковых сторон являются подобными
  • Прямая, соединяющая середины оснований трапеции, является, одновременно, медианой построенного треугольника

Свойства отрезка, соединяющего основания трапеции

Свойства отрезка, параллельного основаниям трапеции

  • Заданный отрезок (KM) делится точкой пересечения диагоналей трапеции пополам
  • Длина отрезка, проходящего через точку пересечения диагоналей трапеции и параллельного основаниям, равна KM = 2ab/(a + b)

Формулы для нахождения диагоналей трапеции

Формулы нахождения диагоналей трапеции через основания, боковые стороны и углы при основании

Формулы нахождения диагоналей трапеции через высоту

Примечание. В данном уроке приведено решение задач по геометрии о трапециях. Если Вы не нашли решение задачи по геометрии, интересующего Вас типа — задайте вопрос на форуме.

Задача.
Диагонали трапеции ABCD (AD | | ВС) пересекаются в точке О. Найдите длину основания ВС трапеции, если основание АD = 24 см, длина АО = 9см, длина ОС = 6 см.

Решение.
Решение данной задачи по идеологии абсолютно идентично предыдущим задачам.

Треугольники AOD и BOC являются подобными по трем углам — AOD и BOC являются вертикальными, а остальные углы попарно равны, поскольку образованы пересечением одной прямой и двух параллельных прямых.

Поскольку треугольники подобны, то все их геометрические размеры относятся между собой, как геометрически размеры известных нам по условию задачи отрезков AO и OC. То есть

AO / OC = AD / BC
9 / 6 = 24 / BC
BC = 24 * 6 / 9 = 16

Задача .
В трапеции ABCD известно, что AD=24, ВС=8, АС=13, BD=5√17. Найдите площадь трапеции.

Решение .
Для нахождения высоты трапеции из вершин меньшего основания B и C опустим на большее основание две высоты. Поскольку трапеция неравнобокая — то обозначим длину AM = a, длину KD = b ( не путать с обозначениями в формуле нахождения площади трапеции). Поскольку основания трапеции параллельны, а мы опускали две высоты, перпендикулярных большему основанию, то MBCK — прямоугольник.

Значит
AD = AM+BC+KD
a + 8 + b = 24
a = 16 — b

Треугольники DBM и ACK — прямоугольные, так их прямые углы образованы высотами трапеции. Обозначим высоту трапеции через h. Тогда по теореме Пифагора

h 2 + (24 — a) 2 = (5√17) 2
и
h 2 + (24 — b) 2 = 13 2

Учтем, что a = 16 — b , тогда в первом уравнении
h 2 + (24 — 16 + b) 2 = 425
h 2 = 425 — (8 + b) 2

Подставим значение квадрата высоты во второе уравнение, полученное по Теореме Пифагора. Получим:
425 — (8 + b) 2 + (24 — b) 2 = 169
-(64 + 16b + b) 2 + (24 — b) 2 = -256
-64 — 16b — b 2 + 576 — 48b + b 2 = -256
-64b = -768
b = 12

Таким образом, KD = 12
Откуда
h 2 = 425 — (8 + b) 2 = 425 — (8 + 12) 2 = 25
h = 5

Найдем площадь трапеции через ее высоту и полусумму оснований
, где a b — основания трапеции, h — высота трапеции
S = (24 + 8) * 5 / 2 = 80 см 2

Ответ: площадь трапеции равна 80 см 2 .

Источник статьи: http://profmeter.com.ua/communication/learning/course/course7/lesson181/


Adblock
detector