Меню

Что такое асимптота гиперболы и как ее найти



Гипербола

Что такое гипербола? Как построить гиперболу? (Для школьников (7-11 классов)).

Функция заданная формулой (y=frac), где к неравно 0. Число k называется коэффициентом обратной пропорциональности.
Определение гиперболы.
График функции (y=frac) называют гиперболой. Где х является независимой переменной, а у — зависимой.

Что нужно знать, чтобы построить гиперболу?
Теперь обсудим свойства гиперболы:

гипербола, где k y≠0 это вторая асимптота.
И так, асимптоты x≠0 и y≠0 в данном примере совпадают с осями координат OX и OY.
k=1, значит гипербола будет находится в первой и третьей четверти. k всегда находится в числители.
Построим примерный график гиперболы.

Пример №2:
$$y=frac<1>-1$$
Находим первую асимптоту.
Знаменатель не может равняться 0, потому что на 0 делить нельзя, поэтому х+2 неравен 0.
х+2≠0
х≠-2 это первая асимптота

Дробь (color >) отбрасываем
Остается y≠ -1 это вторая асимптота.

Строим примерный график, отмечаем асимптоты (красным проведены прямые х≠-2 и y≠-1):

Находим первую асимптоту.
Знаменатель не может равняться 0, потому что на 0 делить нельзя, поэтому 1+х неравен 0.
1+х≠0
х≠-1 это первая асимптота.

Остается y≠1 это вторая асимптота.

Строим примерный график, отмечаем асимптоты (красным проведены прямые х≠-1 и y≠1):

3. У гиперболы есть центр симметрии относительно начала координат. Рассмотрим на примере:

Возьмем точку А(1;1) с координатами, которая находится на графике у=1/х. На этом же графике лежит точка B(-1;-1). Видно, что точка А симметрична точке В относительна начала координат.

4. Оси симметрии гиперболы. У гиперболы две оси симметрии. Рассмотрим пример:

Первой осью симметрии является прямая y=x. Посмотрим точки (0,5;2) и (2;0,5) и еще точки (-0,5;-2) и (-2;-0,5). Эти точки расположены по разные стороны данной прямой, но на равных расстояниях от нее, они симметричны относительно этой прямой.

Вторая ось симметрии это прямая y=-x.



5. Гипербола нечетная функция.

6. Область определения гиперболы и область значения гиперболы. Область определения смотрим по оси х. Область значения смотрим по оси у. Рассмотрим на примере:

а) Находим первую асимптоту.
Знаменатель не может равняться 0, потому что на 0 делить нельзя, поэтому x-1 неравен 0.
x-1≠0
х≠1 это первая асимптота.

Остается y≠ -1 это вторая асимптота.

б) k=-1, значит ветви гиперболы будут находится во второй и четвертой четверти.

в) Возьмем несколько дополнительных точек и отметим их на графике.
х=0 y=0
x=-1 y=-0,5
x=2 y=-2
x=3 y=-1,5

г) Область определения смотрим по оси х. Графика гиперболы не существует по асимптоте х≠1, поэтому область определения будет находится
х ∈ (-∞;1)U(1;+∞).

д) Область значения смотрим по оси y. График гиперболы не существует по асимптоте y≠ -1, поэтому область значения будет находится
y ∈ (-∞;-1)U(-1;+∞).

е) функция возрастает на промежутке x ∈ (-∞;1)U(1;+∞).

7. Убывание и возрастание функции гиперболы. Если k>0, функция убывающая. Если k Category: База знаний, Уроки Tag: Гипербола Leave a comment

Источник статьи: http://tutomath.ru/uroki/kak-postroit-giperbolu.html

Как найти асимптоты гиперболы

Гипербола — это коническое сечение. Термин «гипербола» относится к двум несвязным кривым, показанным на рисунке. Если главные оси совпадают с декартовыми осями, общее уравнение гиперболы им

Содержание:

гипербола

Гипербола — это коническое сечение. Термин «гипербола» относится к двум несвязным кривым, показанным на рисунке.

Если главные оси совпадают с декартовыми осями, общее уравнение гиперболы имеет вид:

Эти гиперболы симметричны вокруг оси y и известны как гипербола оси y. Гипербола, симметричная вокруг оси x (или гипербола оси x), определяется уравнением,

Как найти асимптоты гиперболы

Чтобы найти асимптоты гиперболы, используйте простое манипулирование уравнением параболы.

я. Сначала приведите уравнение параболы в приведенную выше форму

Если парабола дается как тх 2 + пу 2 =Lопределяя

Перепишите уравнение и выполните описанную выше процедуру.
Икс 2 / 4-й 2 / 9 = х 2 /2 2 -y 2 /3 2 =1

При замене правой части на ноль, уравнение становится х 2 /2 2 -y 2 /3 2 =0.
Факторизация и принятие решения уравнения дают,

Найти асимптоты гиперболы — Пример 2

Эта гипербола является гиперболой оси X.
Перестановка членов гиперболы в стандарт из дает
-4x 2 + у 2 = 4 => у 2 /2 2 -Икс 2 /1 2 =1
Факторизация уравнения обеспечивает следующее
(У / 2-х) (у / 2 + х) = 0
Поэтому решения имеют вид y-2x = 0 и y + 2x = 0.

Источник статьи: http://ru.strephonsays.com/how-to-find-the-asymptotes-of-a-hyperbola

Асимптота графика функции: определение, как искать

Библиотека бесплатных студенческих работ

Что такое асимптота — понятие и определение

Асимптота графика функции у=f (x) представляет собой прямую L, максимально приближающеюся к графику функции, точка которого стремится к бесконечности, то есть неограниченно удаляется от начала координат по кривой. Расстояние между этой точкой функции у=f(x) и асимптотой L стремится к нулю.

На рисунке приведены примеры асимптот графиков функций.

На рисунке слева продемонстрирована кривая, которая приближается к асимптоте и остается с одной стороны по отношению к ней.

На рисунке справа представлена кривая (график функции), которая пресекает асимптоту бесконечное множество раз с разных сторон

Асимптоты графика функции, основные виды

Асимптоты делятся на три вида: вертикальные, наклонные и горизонтальные.

У разных функции в наличии может быть различное количество асимптот:

  1. Парабола и синусоида не имеют асимптот.
  2. Экспоненциальная и логарифмическая функции имеют 1 асимптоту.
  3. Арктангенс и арккотангенс — две.
  4. Тангенс и котангенс — бесконечное количество.
  5. Гипербола имеет горизонтальную и вертикальную асимптоты.

Приведем пример нахождения асимптот гиперболы.

Гипербола — геометрическое место расположения точек, от которых абсолютная величина разности растояний до двух фокусов (заданных точек), является постоянной и меньшей, чем расстояние между самими фокусами.

Асимптоты гиперболы — прямые, которые тесто связаны с ней и определяются уравнениями (y=frac bax) и (-y=frac bax) .

При (xrightarrow+infty) разность ординат асимптоты и гиперболы будет (deltarightarrow0) .

Это действительно, так как:

Следовательно, если абсцисса х неограниченно возрастает, то график гиперболы и ее асимптота неограниченно сближаются.

Расположение асимптот гиперболы соответствует диагоналям прямоугольника, стороны которого параллельны оси Ох и оси Оу, а центром служит начало координат.

В равносторонней гиперболе, имеющей вид (x^2-y^2=a^2) , когда (b=a) , асимптоты будут иметь угловые коэффициенты (k=pmfrac ba) , равные (pm1) . Свойством этих асимптот является взаимная перпендикулярность. Они также делят пополам углы между осями симметрии гиперболы.

Необходимо составить уравнение гиперболы, если следующие уравнения задают ее асимптоты:

Гипербола проходит через точку М(6; -4).

Применим формулу (y=frac bax) и получим:

Подставим координаты точки М в общую формулу уравнения гиперболы:

Получим систему уравнений. Чтобы получить уравнение данной гиперболы, необходимо вычислить полученную систему уравнений.

Вертикальные асимптоты

Если хотя бы один из пределов (lim_f(x)) или (lim_f(x)) является равным +∞ или —∞, то вертикальной асимптотой графика функции у=f(x) будет являться прямая х=с.

Другое определение подразумевает, что если в определении асимптоты х0 является конечным числом, то такая асимптота является вертикальной. При этом в точке левый или правый предел (или оба) равны +∞ или -∞.

Примеры вертикальных асимптот:

Пример 1

Необходимо определить вертикальную асимптоту функции (lim_a(x)=0.)

то x=0 — вертикальная асимптота.

Пример 2

Ось ординат является вертикальной асимптотой, так как

Наклонные асимптоты

Если в определении асимптоты присутствует +∞ или —∞, то она относится либо к горизонтальной, либо к наклонной.

Асимптота графика функции у=f(x) является наклонной, если эту функцию можно представить в виде f(x)=kx+b+а(х). При этом должно выполняться условие: (a(x)rightarrow0) при (xrightarrow+infty) . Прямая будет иметь вид y=kx+b.

Прямая у=kx+b будет наклонной асимптотой при (xrightarrow+infty) и (xrightarrow-infty) , если существуют пределы:

Если k=0, то наклонная асимптота превращается в горизонтальную.

Применение правила Лопиталя

Правило Лопиталя применяется, когда границы не определены, например, 0/0 или ∞/∞:

Если функции можно дифференцировать, и они относятся к окрестностям точки x=a, тогда наклонную асимптоту необходимо искать по формуле:

Производная может применяться многократно для получения константы в числителе или знаменателе.

Пример 1

Прямая у=х — наклонная асимптота графика данной функции.

Пример 2

То есть правая ветвь кривой имеет наклонную асимптоту в виде прямой у=х-2.

То есть левая ветвь кривой имеет наклонную асимптоту в виде прямой у=-х+2.

Горизонтальные асимптоты

Прямая y=b является горизонтальной асимптотой для графика функции y=f(x), если

При (xrightarrow+infty) или при (xrightarrow-infty) , когда только один из представленных пределов равен числу b, прямая y=b становится горизонтальной асимптотой не всей кривой, а соответствующей ее части.

Пример 1

поэтому y=4 — горизонтальная асимптота данной функции.

Пример 2

Значит, у=1 — горизонтальная асимптота графика функции.

Пример 3

то y=0 — горизонтальная асимптота графика функции при (xrightarrow+infty) .

Источник статьи: http://wiki.fenix.help/matematika/asimptota-grafika-funktsii


Adblock
detector