Меню

Что такое арксинус арккосинус арктангенс арккотангенс и как их найти



Все про арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс

Функции sin, cos, tg и ctg всегда сопровождаются арксинусом, арккосинусом, арктангенсом и арккотангенсом. Одно является следствием другого, а пары функций одинаково важны для работы с тригонометрическими выражениями.

Рассмотрим рисунок единичной окружности, на котором графически отображено значений тригонометрических функций.

Если вычислить arcs OA, arcos OC, arctg DE и arcctg MK, то все они будут равны значению угла α. Формулы, приведенные ниже, отражают взаимосвязь основных тригонометрических функций и соответствующих им арков.

Арксинус

Чтобы больше понять о свойствах арксинуса, необходимо рассмотреть его функцию. График y = arcsin x имеет вид асимметричной кривой, проходящей через центр координат.

  1. Так как f(x) нечетная, то arcsin (- x) = — arcsin x.
  2. Y = 0 при x = 0.
  3. На всей своей протяженности график возрастает.

Если сопоставить графики sin и arcsin, у двух тригонометрических функций можно найти общие закономерности.

Арккосинус

Arccos числа а — это значение угла α, косинус которого равен а.

Кривая y = arcos x зеркально отображает график arcsin x, с той лишь разницей, что проходит через точку π/2 на оси OY.

Рассмотрим функцию арккосинуса более подробно:

  1. Функция определена на отрезке [-1; 1].
  2. ОДЗ для arccos — [0, π].
  3. График целиком расположен в I и II четвертях, а сама функция не является ни четной, ни нечетной.
  4. Y = 0 при x = 1.
  5. Кривая убывает на всей своей протяженности. Некоторые свойства арккосинуса совпадают с функцией косинуса.

Некоторые свойства арккосинуса совпадают с функцией косинуса.

Возможно, школьникам покажется излишним такое «подробное» изучение «арков». Однако, в противном случае, некоторые элементарные типовые задания ЕГЭ могут ввести учащихся в тупик.

Задание 1. Укажите функции изображенные на рисунке.

Ответ: рис. 1 – 4, рис.2 — 1.

В данном примере упор сделан на мелочах. Обычно ученики очень невнимательно относятся к построению графиков и внешнему виду функций. Действительно, зачем запоминать вид кривой, если ее всегда можно построить по расчетным точкам. Не стоит забывать, что в условиях теста время, затраченное на рисунок для простого задания, потребуется для решения более сложных заданий.

Арктангенс

Arctg числа a – это такое значение угла α, что его тангенс равен а.

Если рассмотреть график арктангенса, можно выделить следующие свойства:

  1. График бесконечен и определен на промежутке (- ∞; + ∞).
  2. Арктангенс нечетная функция, следовательно, arctg (- x) = — arctg x.
  3. Y = 0 при x = 0.
  4. Кривая возрастает на всей области определения.

Приведем краткий сравнительный анализ tg x и arctg x в виде таблицы.

Арккотангенс

Arcctg числа a — принимает такое значение α из интервала (0; π), что его котангенс равен а.

Свойства функции арккотангенса:

  1. Интервал определения функции – бесконечность.
  2. Область допустимых значений – промежуток (0; π).
  3. F(x) не является ни четной, ни нечетной.
  4. На всем своем протяжении график функции убывает.

Сопоставить ctg x и arctg x очень просто, нужно лишь сделать два рисунка и описать поведение кривых.

Задание 2. Соотнести график и форму записи функции.

Если рассуждать логически, из графиков видно, что обе функции возрастающие. Следовательно, оба рисунка отображают некую функцию arctg. Из свойств арктангенса известно, что y=0 при x = 0,

Ответ: рис. 1 – 1, рис. 2 – 4.

Тригонометрические тождества arcsin, arcos, arctg и arcctg

Ранее нами уже была выявлена взаимосвязь между арками и основными функциями тригонометрии. Данная зависимость может быть выражена рядом формул, позволяющих выразить, например, синус аргумента, через его арксинус, арккосинус или наоборот. Знание подобных тождеств бывает полезным при решении конкретных примеров.

Также существуют соотношения для arctg и arcctg:

Еще одна полезная пара формул, устанавливает значение для суммы значений arcsin и arcos, а также arcctg и arcctg одного и того же угла.

Примеры решения задач

Задания по тригонометрии можно условно разделить на четыре группы: вычислить числовое значение конкретного выражения, построить график данной функции, найти ее область определения или ОДЗ и выполнить аналитические преображения для решения примера.

При решении первого типа задач необходимо придерживаться следующего плана действий:

При работе с графиками функций главное – это знание их свойств и внешнего вида кривой. Для решения тригонометрических уравнений и неравенств необходимы таблицы тождеств. Чем больше формул помнит школьник, тем проще найти ответ задания.

Допустим в ЕГЭ необходимо найти ответ для уравнения типа:

Если правильно преобразовать выражение и привести к нужному виду, то решить его очень просто и быстро. Для начала, перенесем arcsin x в правую часть равенства.

Если вспомнить формулу arcsin (sin α) = α, то можно свести поиск ответов к решению системы из двух уравнений:

Ограничение на модель x возникло, опять таки из свойств arcsin: ОДЗ для x [-1; 1]. При а ≠0, часть сиcтемы представляет собой квадратное уравнение с корнями x1 = 1 и x2 = — 1/a. При a = 0, x будет равен 1.

Источник статьи: http://karate-ege.ru/matematika/arksinus-arkkosinus-arktangens-arkkotangens.html

Что такое арксинус арккосинус арктангенс арккотангенс и как их найти

Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно «не очень. »
И для тех, кто «очень даже. » )

К понятиям арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс учащийся народ относится с опаской. Не понимает он эти термины и, стало быть, не доверяет этой славной семейке.) А зря. Это очень простые понятия. Которые, между прочим, колоссально облегчают жизнь знающему человеку при решении тригонометрических уравнений!

Сомневаетесь насчёт простоты? Напрасно.) Прямо здесь и сейчас вы в этом убедитесь.

Разумеется, для понимания, неплохо бы знать, что такое синус, косинус, тангенс и котангенс. Да их табличные значения для некоторых углов. Хотя бы в самых общих чертах. Тогда и здесь проблем не будет.

Итак, удивляемся, но запоминаем: арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс — это просто какие-то углы. Ни больше ни меньше. Бывает угол, скажем 30°. А бывает угол arcsin0,4. Или arctg(-1,3). Всякие углы бывают.) Просто записать углы можно разными способами. Можно записать угол через градусы или радианы. А можно — через его синус, косинус, тангенс и котангенс.

Это угол, синус которого равен 0,4 ! Да-да. Это смысл арксинуса. Специально повторю: arcsin 0,4 — это угол, синус которого равен 0,4.

Чтобы эта простая мысль сохранилась в голове надолго, я даже приведу разбивочку этого ужасного термина — арксинус:

arc sin 0,4
угол, синус которого равен 0,4

Как пишется, так и слышится.) Почти. Приставка arc означает дуга (слово арка знаете?), т.к. древние люди вместо углов использовали дуги, но это сути дела не меняет. Запомните эту элементарную расшифровку математического термина! Тем более, для арккосинуса, арктангенса и арккотангенса расшифровка отличается только названием функции.

Что такое arccos 0,8 ?
Это угол, косинус которого равен 0,8.

Что такое arctg(-1,3) ?
Это угол, тангенс которого равен -1,3.

Что такое arcctg 12 ?
Это угол, котангенс которого равен 12.

Такая элементарная расшифровка позволяет, кстати, избежать эпических ляпов.) Например, выражение arccos1,8 выглядит вполне солидно. Начинаем расшифровку: arccos1,8 — это угол, косинус которого равен 1,8. Скока-скока!? 1,8!? Косинус не бывает больше единицы.

Верно. Выражение arccos1,8 не имеет смысла. И запись такого выражения в какой-нибудь ответ изрядно повеселит проверяющего.)

Элементарно, как видите.) У каждого угла имеется свой персональный синус и косинус. И почти у каждого — свой тангенс и котангенс. Стало быть, зная тригонометрическую функцию, можно записать и сам угол. Для этого и предназначены арксинусы, арккосинусы, арктангенсы и арккотангенсы. Далее я всю эту семейку буду называть уменьшительно — арки. Чтобы печатать меньше.)

Внимание! Элементарная словесная и осознанная расшифровка арков позволяет спокойно и уверенно решать самые различные задания. А в непривычных заданиях только она и спасает.

А можно переходить от арков к обычным градусам или радианам? — слышу осторожный вопрос.)

Почему — нет!? Легко. И туда можно, и обратно. Более того, это иногда нужно обязательно делать. Арки — штука простая, но без них как-то спокойнее, правда?)

Например: что такое arcsin 0,5?

Вспоминаем расшифровку: arcsin 0,5 — это угол, синус которого равен 0,5. Теперь включаем голову (или гугл)) и вспоминаем, у какого угла синус равен 0,5? Синус равен 0,5 у угла в 30 градусов. Вот и все дела: arcsin 0,5 — это угол 30°. Можно смело записать:

Или, более солидно, через радианы:

Всё, можно забыть про арксинус и работать дальше с привычными градусами или радианами.

Если вы осознали, что такое арксинус, арккосинус. Что такое арктангенс, арккотангенс. То легко разберётесь, например, с таким монстром.)

Несведущий человек отшатнётся в ужасе, да. ) А сведущий вспомнит расшифровку: арксинус — это угол, синус которого. Ну и так далее. Если сведущий человек знает ещё и таблицу синусов. Таблицу косинусов. Таблицу тангенсов и котангенсов, то проблем вообще нет!

Достаточно сообразить, что:

Расшифрую, т.е. переведу формулу в слова: угол, тангенс которого равен 1 (arctg1) — это угол 45°. Или, что едино, Пи/4. Аналогично:

и всё. Заменяем все арки на значения в радианах, всё посокращается, останется посчитать, сколько будет 1+1. Это будет 2.) Что и является правильным ответом.

Вот таким образом можно (и нужно) переходить от арксинусов, арккосинусов, арктангенсов и арккотангенсов к обычным градусам и радианам. Это здорово упрощает страшные примеры!

Частенько, в подобных примерах, внутри арков стоят отрицательные значения. Типа, arctg(-1,3), или, к примеру, arccos(-0,8). Это не проблема. Вот вам простые формулы перехода от отрицательных значений к положительным:

Нужно вам, скажем, определить значение выражения:

Это можно и по тригонометрическому кругу решить, но вам не хочется его рисовать. Ну и ладно. Переходим от отрицательного значения внутри арккосинуса к положительному по второй формуле:

Внутри арккосинуса справа уже положительное значение. То, что

вы просто обязаны знать. Остаётся подставить радианы вместо арккосинуса и посчитать ответ:

Ограничения на арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс.

Те, кто освоил темы «Тригонометрический круг», и «Отсчёт углов на тригонометрическом круге» — люди грамотные. И, возможно, уже приготовили мне убойный вопрос.) По определению, скажем, arcsin 0,5 — это угол, синус которого равен 0,5. Т.е 30°. Но.

Грамотный человек знает, что синус равен 0,5 не только у угла 30°! Так как:

И так до бесконечности. Неоднозначно получается! Получается, что arcsin0,5 это и 30°, и 150°, и 390°, и 510°, и .

Да. Именно так. Арксинус 0,5 — это действительно бесконечный набор углов. Но обозначается такой арксинус вот как: Arcsin0,5. С заглавной буквы. В школе такие арксинусы не изучают. В школе изучают арки с маленькой буквы: arcsin, arccos, arctg, arcctg. Такие арки называются главными значениями арксинуса, арккосинуса и т.д. и имеют жёсткие ограничения по величине. Для однозначности.

С этими ограничениями надо разобраться основательно. Тем более, что это дело простое.) Запоминаем:

arсsin (любой) — это угол, который располагается в интервале:

arсcos (любой) — это угол, который располагается в интервале:

arсtg (любой) — это угол, который располагается в интервале:

arсctg (любой) — это угол, который располагается в интервале:

Запомнить эти диапазоны очень легко по картинкам. Тригонометрический круг вам в помощь!) Для арксинуса:

Зелёным нарисованы углы, которые пробегают значения от — Пи/2 до + Пи/2. Это и есть разрешённая зона для арксинусов. И никаких дополнительных оборотов! Строго от -90° до +90°! Никакой arcsin не может быть равным, например 120°, 180° или 330°. А вот 50°, -65°, 90° или 25° — пожалуйста!

Теперь, я думаю, понятно, что arcsin 0,5 = 30°. И только 30°! Так как углы 150°, 390°, 510° и т.д., которые тоже дают синус, равный 0,5, арксинусами быть не могут. Они выпадают из разрешённого диапазона.

А теперь наведите курсор мышки на рисунок, или коснитесь картинки на планшете. Вы увидите диапазон арктангенсов. Найдите 2 отличия.) Да! Конечные точки на оси ОУ стали белыми! Это означает, что они не включаются в диапазон арктангенсов. Арктангенс не может быть равным ±90°. По той простой причине, что тангенс 90° (и -90°) не существует.

Уже проще, правда?) Ну и, аналогичная картинка для арккосинуса и арккотангенса (при наведённом курсоре):

Надеюсь, зрительная память вас спасёт, если что. )

А зачем все эти арки? — слышу ещё один осторожный вопрос.)

Вопрос резонный. В математике просто так, чисто для красоты, ничего не бывает. Только по острой необходимости!) А вы попробуйте ответить на такой вопрос:

У какого угла синус равен 0,4?

Для ответа в градусах или радианах вам придётся открывать таблицы Брадиса, или включать солидный калькулятор. Искать там значение синуса, равное (примерно!) 0,4 и смотреть, какой же угол имеет этот синус. После тяжких трудов вы определите, что это угол примерно 23 градуса и 36 минут. Про радианы я вообще молчу. )

А через арксинус мгновенно даётся абсолютно точный ответ: угол, у которого синус равен 0,4 — это arcsin 0,4 ! Просто по смыслу арксинуса: arcsin 0,4 — это и есть угол, синус которого равен 0,4. Разумеется, это не единственный угол, синус которого равен 0,4, но через арки и все остальные записываются в три секунды. Этим мы в тригонометрических уравнениях займёмся.

Если вы осознали этот забавный факт, то легко ответите на все подобные вопросы:

У какого угла синус равен -0,7 ?
У угла arcsin (-0,7).

У какого угла косинус равен 0,03 ?
У угла arccos 0,03.

У какого угла тангенс равен 3 ?
У угла arctg 3.

У какого угла котангенс равен 0,123 ?
У угла arcctg 0,123.

Вам кажутся странными эти вопросы? Привыкайте.) Это главные вопросы любого тригонометрического уравнения. Для решения таких уравнений арки подходят — лучше некуда.

Здесь важно понимать, что arcsin (-0,7), arctg 3 и т.п. — это просто какие-то числа, величины углов. И отличаются от привычных градусов или радианов только компактной формой записи. Например, можно записать (точно!) величину угла в виде:

А можно записать (приблизительно) тот же самый угол через градусы. Это будет:

23,57817847820183110402. °

Осознали простой и важный смысл арков? Тогда порешаем самостоятельно. Примерчики от устных до хитрых.)

Источник статьи: http://www.egesdam.ru/page306.php


Adblock
detector