Меню

Что такое арифметическая прогрессия как найти д



Содержимое

Арифметическая прогрессия (ЕГЭ – 2021)

Знаменитый ученый Карл Гаусс однажды сказал:

«Ничего не сделано, если что-то осталось недоделанным.»

Поэтому давай сейчас разберем одну из важнейших тем алгебры – арифметическую прогрессию.

А если остались какие-то пробелы, заполним их.

Кстати, Гаусса мы вспомнили не просто так 🙂

ШПАРГАЛКА ПО АРИФМЕТИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИИ

Арифметическая прогрессия

– это числовая последовательность, в которой разница между соседними числами одинакова и равна ( displaystyle d).

Арифметическая прогрессия бывает возрастающей (( displaystyle d>0)) и убывающей (( displaystyle d

Формула нахождения n-ого члена арифметической прогрессии

Свойство членов арифметической прогрессии

Сумма членов арифметической прогрессии

Существует два способа нахождения суммы:

НАЧАЛЬНЫЙ УРОВЕНЬ

Числовая последовательность

Итак, сядем и начнем писать какие-нибудь числа. Например: ( displaystyle 4,text< >7,text< >-8,text< >13,text< >-5,text< >-6,text< >0,text< >ldots )

Писать можно любые числа, и их может быть сколько угодно (в нашем случае их ( displaystyle 7)). Сколько бы чисел мы не написали, мы всегда можем сказать, какое из них первое, какое – второе и так далее до последнего, то есть, можем их пронумеровать.

Это и есть пример числовой последовательности.

Числовая последовательность – это множество чисел, каждому из которых можно присвоить уникальный номер.

Например, для нашей последовательности:

Присвоенный номер характерен только для одного числа последовательности. Иными словами, в последовательности нет трех вторых чисел. Второе число (как и ( displaystyle n)-ное число) всегда одно.

Число с номером ( displaystyle n) называется ( displaystyle n)-ным членом последовательности.

Всю последовательность мы обычно называем какой-нибудь буквой (например, ( displaystyle a)), и каждый член этой последовательности – той же буквой с индексом, равным номеру этого члена: ( displaystyle <_<1>>,text< ><_<2>>,text< >. text< ><_<10>>,text< >. text< ><_>).

Арифметическая прогрессия

Допустим, у нас есть числовая последовательность, в которой разница между соседствующими числами одинакова и равна d.

Такая числовая последовательность называется арифметической прогрессией.

Термин «прогрессия» был введен римским автором Боэцием еще в 6 веке и понимался в более широком смысле, как бесконечная числовая последовательность. Название «арифметическая» было перенесено из теории непрерывных пропорций, которыми занимались древние греки.

Арифметическая прогрессия – это числовая последовательность, каждый член которой равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом. Это число называется разностью арифметической прогрессии и обозначается d.

Попробуй определить, какие числовые последовательности являются арифметической прогрессией, а какие нет:

Разобрался? Сравним наши ответы:

Является арифметической прогрессией – 2, 3.

Не является арифметической прогрессией – 1, 4.

Вернемся к заданной прогрессии (( displaystyle 3;text< >7;text< >11;text< >15;text< >19ldots )) и попробуем найти значение ее 6-го члена.

Существует два способа его нахождения.

Два способа нахождения члены арифметической прогрессии

Мы можем прибавлять к предыдущему значению числа прогрессии ( d=4) , пока не дойдем до ( displaystyle 6)-го члена прогрессии. Хорошо, что суммировать нам осталось немного – всего три значения:

Итак, 6-ой член описанной арифметической прогрессии равен 23.

А что если нам нужно было бы найти значение ( displaystyle 140)-го члена прогрессии? Суммирование заняло бы у нас не один час, и не факт, что мы не ошиблись бы при сложении чисел.

А теперь очень важно! Чтобы облегчить себе работу, нужно найти закономерность, потом описать ее формулой и потом пользоваться этой формулой, чтобы вычислять в разы быстрее.

Это и есть математика! Важно научиться находить закономерности, а потом уже запоминать формулы. Потому что, даже если ты забудешь формулу, ты сможешь ее вывести. И, самое главное, ты сможешь проверить подходит та или иная формула для решения задачи, а не просто подставлять их как обезьянка.

Давай попробуем вывести формулу. Это легко и тебе понравится! Чтобы найти закономерности, надо пользоваться тем, что мы знаем.

Чему равен 2-й член арифметической прогрессии? Попробуй сначала написать числами, а потом в более общем виде, заменив числа буквами.

Закономерности пока не видны. Ок. Идем дальше. Чему равен 3-й член арифметической прогрессии?

Похоже что вырисовывается закономерность! Чтобы узнать значение 2-го члена прогрессии, мы прибавляли одно d, а чтобы узнать 3-го — два d! Иными словами, нам надо прибавлять каждый раз на одно d меньше, чем номер члена прогрессии.

Давай проверим? Чему равен 4-й член арифметической прогрессии?

Бинго! Закономерность подтверждается. Теперь осталось описать закономерность формулой и пользоваться ею!

Если нам нужно найти значение числа прогрессии с порядковым номером n, мы прибавляем к первому члену арифметической прогрессии число d, которое на одно значение меньше порядкового номера искомого числа.

А теперь запомни эту формулу и используй ее для быстрого счета. А если забудешь — то легко выведешь.

Например, посмотрим, из чего складывается значение ( displaystyle 4)-го члена данной арифметической прогрессии:

Попробуй самостоятельно найти таким способом значение члена ( displaystyle n=6) данной арифметической прогрессии.

Рассчитал? Сравни свои записи с ответом:

Обрати внимание, что у тебя получилось точно такое же число, как и в предыдущем способе, когда мы последовательно прибавляли ( displaystyle d) к предыдущему значению членов арифметической прогрессии.

Попробуем «обезличить» данную формулу – приведем ее в общий вид и получим:

Кстати, таким образом мы можем посчитать и ( displaystyle 140)-ой член данной арифметической прогрессии (да и ( displaystyle 169)-ый тоже можем, да и любой другой вычислить совсем несложно). Попробуй посчитать значения ( displaystyle 140)-го и ( displaystyle 169)-го членов, применив полученную формулу.

Автор этого учебника, Алексей Шевчук, проводит бесплатные вебинары по самым сложным задачам ЕГЭ по математике и информатике.

На вебинарах все будет еще понятнее. Шорткаты, лайфхаки, разбор «капканов» — все там.

Арифметические прогрессии бывают возрастающие, а бывают убывающие.

Возрастающие – прогрессии, в которых каждое последующее значение членов больше предыдущего.

Убывающие – прогрессии, в которых каждое последующее значение членов меньше предыдущего.

Выведенная формула применяется в расчете членов как в возрастающих, так и в убывающих членах арифметической прогрессии.

Нам дана арифметическая прогрессия, состоящая из следующих чисел: ( displaystyle 13;text< >8;text< >4;text< >0;text< >-4.) Проверим, какое получится ( displaystyle 4)-ое число данной арифметической прогрессии, если при его расчете использовать нашу формулу:

Заметим, что так как арифметическая прогрессия убывающая, то значение ( displaystyle d) будет отрицательным, ведь каждый последующий член меньше предыдущего.

Таким образом, мы убедились, что формула действует как в убывающей, так и в возрастающей арифметической прогрессии.

Попробуй самостоятельно найти ( displaystyle 140)-ой и ( displaystyle 169)-ый члены этой арифметической прогрессии.

Сравним полученные результаты:

Свойство арифметической прогрессии

Усложним задачу — выведем свойство арифметической прогрессии.

Допустим, нам дано такое условие:

( displaystyle 4;text< >x;text< >12ldots ) — арифметическая прогрессия, найти значение ( displaystyle x).

Легко, скажешь ты и начнешь считать по уже известной тебе формуле:

Получается, мы сначала находим ( displaystyle d), потом прибавляем его к первому числу и получаем искомое ( displaystyle x).

Если прогрессия представлена маленькими значениями, то ничего сложного в этом нет, а если нам в условии даны числа ( displaystyle 4024;

Согласись, есть вероятность ошибиться в вычислениях.

А теперь подумай, можно ли решить эту задачу в одно действие с использованием какой-либо формулы?

Конечно да, и именно ее мы попробуем сейчас вывести.

Просуммируем предыдущий и последующий члены прогрессии:

Получается, что сумма предыдущего и последующего членов прогрессии – это удвоенное значение члена прогрессии, находящегося между ними.

Иными словами, чтобы найти значение члена прогрессии при известных предыдущих и последовательных значениях, необходимо сложить их и разделить на ( 2).

Попробуем посчитать значение ( x), используя выведенную формулу:

Все верно, мы получили это же число. Закрепим материал.

Посчитай значение ( x) для прогрессии ( displaystyle 4024;

x;6072) самостоятельно, ведь это совсем несложно.

Молодец! Ты знаешь о прогрессии почти все! Осталось узнать только одну формулу, которую по легендам без труда вывел для себя один из величайших математиков всех времен, «король математиков» – Карл Гаусс.

Сумма первых n членов арифметической прогрессии

Когда Карлу Гауссу было 9 лет, учитель, занятый проверкой работ учеников других классов, задал на уроке следующую задачу:

«Сосчитать сумму всех натуральных чисел от ( displaystyle 1) до ( displaystyle 40) (по другим источникам до ( displaystyle 100)) включительно».

Каково же было удивление учителя, когда один из его учеников (это и был Карл Гаусс) через минуту дал правильный ответ на поставленную задачу, при этом, большинство одноклассников смельчака после долгих подсчетов получили неправильный результат…

Юный Карл Гаусс заметил некоторую закономерность, которую без труда заметишь и ты.

Допустим, у нас есть арифметическая прогрессия, состоящая из ( displaystyle 6)-ти членов: ( displaystyle 6;text< >8;text< >10;text< >12;text< >14;text< >16. )

Нам необходимо найти сумму данных ( displaystyle 6) членов арифметической прогрессии.

Конечно, мы можем вручную просуммировать все значения, но что делать, если в задании необходимо будет найти сумму ( displaystyle 100) ее членов, как это искал Гаусс?

Изобразим заданную нам прогрессию. Присмотрись внимательно к выделенным числам и попробуй произвести с ними различные математические действия.

Попробовал? Что ты заметил? Правильно! Их суммы равны

А теперь ответь, сколько всего наберется таких пар в заданной нам прогрессии?

Конечно, ровно половина всех чисел, то есть ( frac<6><2>=3).

Исходя из того, что сумма двух членов арифметической прогрессии равна ( 22), а подобных равных пар ( 3), мы получаем, что общая сумма равна:

( displaystyle Stext< >=text< >22cdot 3text< >=text< >66).

Таким образом, формула для суммы первых ( displaystyle n) членов любой арифметической прогрессии будет такой:

В некоторых задачах нам неизвестен ( displaystyle n)-й член, но известна разность прогрессии. Попробуй подставить в формулу суммы, формулу ( displaystyle n)-го члена. ( <_>=<_<1>>+dleft( n-1 right))

Молодец! Теперь вернемся к задаче, которую задали Карлу Гауссу: посчитай самостоятельно, чему равна сумма ( displaystyle 40) чисел, начиная от ( displaystyle 1)-го, и сумма ( displaystyle 100) чисел начиная от ( displaystyle 1)-го.

Сколько у тебя получилось?

У Гаусса получилось, что сумма ( displaystyle 100 ) членов равна ( displaystyle 5050), а сумма ( displaystyle 40)членов ( displaystyle 820).

Автор этого учебника, Алексей Шевчук, проводит бесплатные вебинары по самым сложным задачам ЕГЭ по математике и информатике.

На вебинарах все будет еще понятнее. Шорткаты, лайфхаки, разбор «капканов» — все там.

На самом деле формула суммы членов арифметической прогрессии была доказана древнегреческим ученым Диофантом еще в 3 веке, да и на протяжении всего этого времени остроумные люди вовсю пользовались свойствами арифметической прогрессии.

Например, представь Древний Египет и самую масштабную стройку того времени – строительство пирамиды… На рисунке представлена одна ее сторона.

Где же здесь прогрессия скажешь ты? Посмотри внимательно и найди закономерность в количестве песчаных блоков в каждом ряде стены пирамиды.

Чем не арифметическая прогрессия? Посчитай, сколько всего блоков необходимо для строительства одной стены, если в основание кладется ( displaystyle 6) блочных кирпичей.

Надеюсь, ты не будешь считать, водя пальцем по монитору, ты же помнишь последнюю формулу и все, что мы говорили об арифметической прогрессии?

В данном случае прогрессия выглядит следующим образом:

( displaystyle 6;text< >5;text< >4;text< >3;text< >2; 1).

Разность арифметической прогрессии ( displaystyle

Количество членов арифметической прогрессии ( displaystyle=6).

Подставим в последние формулы наши данные (посчитаем количество блоков 2 способами).

Разность арифметической прогрессии ( displaystyle

Количество членов арифметической прогрессии ( displaystyle=6).

Подставим в последние формулы наши данные (посчитаем количество блоков 2 способами).

А теперь можно и на мониторе посчитать: сравни полученные значения с тем количеством блоков, которое есть в нашей пирамиде.

Молодец, ты освоил сумму ( displaystyle n)-ных членов арифметической прогрессии.

Конечно, из ( displaystyle 6) блоков в основании пирамиду не построишь, а вот из ( displaystyle 60)?

Попробуй рассчитать, сколько необходимо песчаных кирпичей, чтобы построить стену с таким условием.

Верный ответ – ( displaystyle 1830) блоков:

Задачи для самостоятельной работы

Задача №1

Маша приходит в форму к лету. Ежедневно она увеличивает количество приседаний на 5. Сколько раз будет приседать Маша через 2 недели, если на первой тренировке она сделала 10 приседаний.

Задача №2

Какова сумма всех нечетных чисел, содержащихся в 20.

Задача №3

Лесорубы при хранении бревен укладывают их таким образом, что каждый верхний слой содержит на одно бревно меньше, чем предыдущий. Сколько бревен находится в одной кладке, если основанием кладки служат 14 бревен.

Решения задач

Решение и ответ №1

Определим параметры арифметической прогрессии. В данном случае

Решение и ответ №2

Разность арифметической прогрессии ( d=2).

Количество нечетных чисел в ( 20) – половина, однако, проверим этот факт, используя формулу нахождения ( displaystyle n)-ного члена арифметической прогрессии:

( displaystyle 19=1+2left( n-1 right)Rightarrow n-1=frac<19-1><2>=9Rightarrow n=9+1=10)

В ( 20) числах действительно содержится ( 10) нечетных чисел.

Имеющиеся данные подставим в формулу:

Ответ: Сумма всех нечетных чисел, содержащихся в ( 20), равна ( 100).

Решение и ответ №3

Подставим данные в формулу:

Ответ: В кладке находится ( 105) бревен.

Автор этого учебника, Алексей Шевчук, проводит бесплатные вебинары по самым сложным задачам ЕГЭ по математике и информатике.

На вебинарах все будет еще понятнее. Шорткаты, лайфхаки, разбор «капканов» — все там.

Подведем итоги

СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ

Числовая последовательность

Давай сядем и начнем писать какие-нибудь числа.

Например: ( displaystyle 1,text< >5,text< >-3,text< >15,text< >-7,text< >-84,text< >0,text< >ldots )

Писать можно любые числа, и их может быть сколько угодно. Но всегда можно сказать, какое из них первое, какое – второе и так далее, то есть, можем их пронумеровать. Это и есть пример числовой последовательности.

Числовая последовательность – это множество чисел, каждому из которых можно присвоить уникальный номер.

Другими словами, каждому числу можно поставить в соответствие некое натуральное число, причем единственное. И этот номер мы не присвоим больше никакому другому числу из данного множества.

Число с номером ( displaystyle n) называется ( displaystyle n)-ым членом последовательности.

Всю последовательность мы обычно называем какой-нибудь буквой (например, ( displaystyle a)), и каждый член этой последовательности – той же буквой с индексом, равным номеру этого члена: ( displaystyle <_<1>>,text< ><_<2>>,text< >. text< ><_<10>>,text< >. text< ><_>).

Очень удобно, если ( displaystyle n)-ый член последовательности можно задать какой-нибудь формулой. Например, формула

задает последовательность: ( displaystyle -2;text< >1;text< >4;text< >7;text< >10;text< >ldots )

Арифметическая прогрессия

Арифметическая прогрессия – это последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и некоторого фиксированного числа, называемого разностью арифметической прогрессии.

Например, арифметической прогрессией является последовательность

( displaystyle 1,text< >3,text< >5,text< >7,text< >ldots ) (первый член здесь равен ( displaystyle 1), а разность ( displaystyle 2)).

Формула n-го члена

Рекуррентной мы называем такую формулу, в которой чтобы узнать ( displaystyle n)-ый член, нужно знать предыдущий или несколько предыдущих:

Чтобы найти по такой формуле, например, ( displaystyle 10)-ый член прогрессии, нам придется вычислить предыдущие девять. Например, пусть ( displaystyle <_<1>>=3;text< >d=-2). Тогда:

Слишком долго считать, поэтому давай попробуем придумать формулу поудобнее. Итак,

Ну что, ясно теперь какая формула?

Теперь намного удобнее, правда? Проверяем:

Задачи для самостоятельной работы

Задача №1

В арифметической прогрессии ( displaystyle -5, -2, 1, 4 . ) найти формулу n-го члена и найти сотый член.

Решение и ответ №1

Первый член равен ( displaystyle -5).

А чему равна разность? А вот чему:

Зарегистрируйся один раз и ты откроешь все 100 статей учебника

А также получишь доступ к видеоурокам и другим бесплатным материалам курса «Подготовка к ЕГЭ с репетитором»

* Если не понравятся бесплатные материалы, ты сможешь отписаться в любой момент

(она ведь потому и называется разностью, что равна разности последовательных членов прогрессии).

Сумма первых n членов арифметической прогрессии

Чему равна сумма всех натуральных чисел от ( displaystyle 1) до ( displaystyle 100)?

По легенде, великий математик Карл Гаусс, будучи 9-летним мальчиком, посчитал эту сумму за несколько минут. Он заметил, что сумма первого и последнего числа равна ( displaystyle 101), сумма второго и предпоследнего – тоже ( displaystyle 101), сумма третьего и 3-го с конца – тоже ( displaystyle 101), и так далее. Сколько всего наберется таких пар? Правильно, ровно половина количества всех чисел, то есть ( displaystyle 50). Итак,

( displaystyle 1+2+3+. +100=left( 1+100 right)+left( 2+99 right)+. +left( 50+51 right)=)

Общая формула для суммы первых ( displaystyle n) членов любой арифметической прогрессии будет такой:

В некоторых задачах нам неизвестен ( displaystyle n)-й член, но известна разность прогрессии. Тогда нужно подставить сюда формулу n-го члена ( displaystyle <_>=<_<1>>+dleft( n-1 right)). Что получилось?

Задачи для самостоятельной работы

Задача №1

Найдите сумму всех двузначных чисел, кратных ( displaystyle 4).

Решение и ответ №1

Первое такое число – это ( displaystyle 12). Каждое следующее получается добавлением к предыдущему числа ( displaystyle 4). Таким образом, интересующие нас числа образуют арифметическую прогрессию с первым членом ( displaystyle <_<1>>=12) и разностью ( displaystyle d=4).

Формула ( displaystyle n)-го члена для этой прогрессии:

Сколько членов в прогрессии, если все они должны быть двузначными?

Регистрация здесь: https://youclever.org/free-sunday-webinars/ Кстати, зарегистрируйтесь один раз и вы будете получать приглашения на ВСЕ бесплатные вебинары до конца года.

ИНФОРМАТИКА

Это 2-й из 8-ми уроков курса «Цикл с параметром (for). Массивы. Работа с файлами. ЕГЭ №17, 24, 25». Пройдите 8 уроков и вы сможете получить на ЕГЭ целых 4 первичных балла! Все уроки доступны в записи до 1 августа 2021 года.

Четверг. 18-00. Вложенные циклы и сложные условия — https://youclever.org/prices-informatics-repetitor-d/

Это 3-й из 8-ми уроков курса «Цикл с параметром (for). Массивы. Работа с файлами. ЕГЭ №17, 24, 25».

Эта тема чрезвычайно важна! На ЕГЭ по информатике за нее дают целых 4 первичных балла! За 8 уроков мы разберем все, что для этого нужно. Все уроки доступны в записи до 1 августа 2021 года.

Бесплатный воскресный вебинар 11-00. ЕГЭ №26. Жадный алгоритм. Олимпиадная задача и задача ЕГЭ.

Регистрация здесь: https://youclever.org/free-sunday-webinars/ Кстати, зарегистрируйтесь один раз и вы будете получать приглашения на ВСЕ бесплатные вебинары до конца года.

ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ

По всем курсам математики и информатики по каждому уроку предусмотрены домашние задания и их проверка, чтобы вы не только поняли тему, но и САМОЕ ГЛАВНОЕ научились решать задачи.
И еще вы можете задавать вопросы Алексею Шевчуку в закрытой группе Вконтакте.

Приходите на бесплатные вебинары или покупайте курсы и готовьтесь системно вместе с нами!

Источник статьи: http://youclever.org/book/arifmeticheskaya-progressiya-1/


Adblock
detector