Меню

Что называют значением алгебраического выражения как его найти



Что значит найти значение алгебраического выражения

Алгебраическое выражение — это выражение, составленное из букв и чисел, соединенных знаками алгебраических действий: сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень, извлечения корня.

Найти значение алгебраического выражения — это значит найти множество всех его решений.

ПОЯСНЕНИЕ. Выражения с переменными — алгебраические.

Если в числовом выражении появляются буквы — это выражение становится буквенным выражением. Или выражением с переменными. Или — алгебраическим выражением. Это, практически, одно и то же. Выражение 5а +с, к примеру — и буквенное, и алгебраическое, и выражение с переменными.

Почему буквенное — понятно. Ну, раз буквы есть, то любую букву можно заменять на разные числа. Поэтому буквы и называются переменными. В выражении у+5, например, у — переменная величина. Или говорят просто «переменная», без слова «величина». В отличие от цифры пять, например, которая — величина постоянная. Или просто — постоянная.

Термин алгебраическое выражение означает, что для работы с данным выражением нужно использовать законы и правила алгебры. Если арифметика работает с конкретными числами, то алгебра — со всеми числами разом. Простой пример для пояснения.
В арифметике можно записать, что 3 + 5 = 5 + 3. Посчитать, и все дела.
Слева 8, и справа 8. А для других чисел такое равенство выполняется? Тоже можно записать и посчитать. Но чисел — бесконечное количество.. . И что, каждый раз считать? !

А вот если мы подобное равенство запишем через алгебраические выражения:
а + b = b + a
мы сразу решим все вопросы. Для всех чисел махом. Для всего бесконечного количества. Потому, что под буквами а и b подразумеваются все числа. И не только числа, но даже и другие математические выражения. Вот так работает алгебра.

Числовым значением алгебраического выражения при заданных числовых значениях букв называют тот результат, который получится после замены букв их числовыми значениями и выполнения указанных в выражении действий.

Источник статьи: http://otvet.mail.ru/question/64739503

6.4.1. Алгебраическое выражение

I. Выражения, в которых наряду с буквами могут быть использованы числа, знаки арифметических действий и скобки, называются алгебраическими выражениями.

Примеры алгебраических выражений:

2m -n; 3·(2a + b); 0,24x; 0,3a -b · (4a + 2b); a 2 – 2ab;

Так как букву в алгебраическом выражении можно заменить какими то различными числами, то букву называют переменной, а само алгебраическое выражение — выражением с переменной.

II. Если в алгебраическом выражении буквы (переменные) заменить их значениями и выполнить указанные действия, то полученное в результате число называется значением алгебраического выражения.

Примеры. Найти значение выражения:

1) a + 2b -c при a = -2; b = 10; c = -3,5.

2) |x| + |y| -|z| при x = -8; y = -5; z = 6.

1) a + 2b -c при a = -2; b = 10; c = -3,5. Вместо переменных подставим их значения. Получим:

— 2+ 2 · 10- (-3,5) = -2 + 20 +3,5 = 18 + 3,5 = 21,5.

2) |x| + |y| -|z| при x = -8; y = -5; z = 6. Подставляем указанные значения. Помним, что модуль отрицательного числа равен противоположному ему числу, а модуль положительного числа равен самому этому числу. Получаем:

III. Значения буквы (переменной), при которых алгебраическое выражение имеет смысл, называют допустимыми значениями буквы (переменной).

Примеры. При каких значениях переменной выражение не имеет смысла?

Решение. Мы знаем, что на нуль делить нельзя, поэтому, каждое из данных выражений не будет иметь смысла при том значении буквы (переменной), которая обращает знаменатель дроби в нуль!

В примере 1) это значение а = 0. Действительно, если вместо а подставить 0, то нужно будет число 6 делить на 0, а этого делать нельзя. Ответ: выражение 1) не имеет смысла при а = 0.

В примере 2) знаменатель х — 4 = 0 при х = 4, следовательно, это значение х = 4 и нельзя брать. Ответ: выражение 2) не имеет смысла при х = 4.

В примере 3) знаменатель х + 2 = 0 при х = -2. Ответ: выражение 3) не имеет смысла при х = -2.

В примере 4) знаменатель 5 -|x| = 0 при |x| = 5. А так как |5| = 5 и |-5| = 5, то нельзя брать х = 5 и х = -5. Ответ: выражение 4) не имеет смысла при х = -5 и при х = 5.
IV. Два выражения называются тождественно равными, если при любых допустимых значениях переменных соответственные значения этих выражений равны.

Пример: 5 (a – b) и 5a – 5b тожественно равны, так как равенство 5 (a – b) = 5a – 5b будет верным при любых значениях a и b. Равенство 5 (a – b) = 5a – 5b есть тождество.

Тождество – это равенство, справедливое при всех допустимых значениях входящих в него переменных. Примерами уже известных вам тождеств являются, например, свойства сложения и умножения, распределительное свойство.

Замену одного выражения другим, тождественно равным ему выражением, называют тождественным преобразованием или просто преобразованием выражения. Тождественные преобразования выражений с переменными выполняются на основе свойств действий над числами.

a) преобразуйте выражение в тождественно равное, используя распределительное свойство умножения:

1) 10·(1,2х + 2,3у); 2) 1,5·(a -2b + 4c); 3) a·(6m -2n + k).

Решение. Вспомним распределительное свойство (закон) умножения:

(a+b)·c=a·c+b·c (распределительный закон умножения относительно сложения: чтобы сумму двух чисел умножить на третье число, можно каждое слагаемое умножить на это число и полученные результаты сложить).
(а-b)·c=a·с-b·c (распределительный закон умножения относительно вычитания: чтобы разность двух чисел умножить на третье число, можно умножить на это число уменьшаемое и вычитаемое отдельно и из первого результата вычесть второй).

1) 10·(1,2х + 2,3у) = 10 · 1,2х + 10 · 2,3у = 12х + 23у.

б) преобразуйте выражение в тождественно равное, используя переместительное и сочетательное свойства (законы) сложения:

4) х + 4,5 +2х + 6,5; 5) (3а + 2,1) + 7,8; 6) 5,4с -3 -2,5 -2,3с.

Решение. Применим законы (свойства) сложения:

a+b=b+a (переместительный: от перестановки слагаемых сумма не меняется).
(a+b)+c=a+(b+c) (сочетательный: чтобы к сумме двух слагаемых прибавить третье число, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего).

4) х + 4,5 +2х + 6,5 = (х + 2х) + (4,5 + 6,5) = 3х + 11.

5) (3а + 2,1) + 7,8 = 3а + (2,1 + 7,8) = 3а + 9,9.

6) 6) 5,4с -3 -2,5 -2,3с = (5,4с -2,3с) + (-3 -2,5) = 3,1с -5,5.

в) преобразуйте выражение в тождественно равное, используя переместительное и сочетательное свойства (законы) умножения:

7) 4 · х · (-2,5); 8) -3,5 ·· (-1); 9) 3а · (-3) · 2с.

Решение. Применим законы (свойства) умножения:

a·b=b·a (переместительный: от перестановки множителей произведение не меняется).
(a·b)·c=a·(b·c) (сочетательный: чтобы произведение двух чисел умножить на третье число, можно первое число умножить на произведение второго и третьего).

7) 4 · х · (-2,5) = -4 · 2,5 · х = -10х.

8 ) -3,5 ·· (-1) = 7у.

9) 3а · (-3) · 2с = -18ас.

Если алгебраическое выражение дано в виде сократимой дроби, то пользуясь правилом сокращения дроби его можно упростить, т.е. заменить тождественно равным ему более простым выражением.

Примеры. Упростите, используя сокращение дробей.

Решение. Сократить дробь — это значит разделить ее числитель и знаменатель на одно и то же число (выражение), отличное от нуля. Дробь 10) сократим на 3b; дробь 11) сократим на а и дробь 12) сократим на 7n. Получаем:

Алгебраические выражения применяют для составления формул.

Формула – это алгебраическое выражение, записанное в виде равенства и выражающее зависимость между двумя или несколькими переменными. Пример: известная вам формула пути s=v·t (s — пройденный путь, v — скорость, t — время). Вспомните, какие еще формулы вы знаете.

Источник статьи: http://mathematics-repetition.com/6-4-1-algebraitcheskoe-vrazhenie/

Использование букв для обозначения чисел, вычисление значения алгебраического выражения, применение алгебраических выражений для записи свойств арифметических действий.

Описание презентации по отдельным слайдам:

Использование букв для обозначения чисел, вычисление значения алгебраического выражения, применение алгебраических выражений для записи свойств арифметических действий. Учитель математики: Евграфова М. В. Математика 5 класс Тема:

Как использовать буквы для обозначения чисел. Что такое алгебраическое выражение. Что такое значение алгебраического выражения. Как его найти. Как использовать алгебраические выражения для записи свойств действий. Сегодня на уроке узнаем:

Вы уже знакомы с числовыми выражениями. Например, выражение 3 · 8 – 7 – это числовое выражение. Если выполнить все действия в числовом выражении , то получим значение числового выражения. 3 · 8 – 7 = 24 – 7 = 17 Значение числового выражения 3 · 8 – 7 — это число 17.

Если в числовом выражении некоторые ( или все ) числа заменить буквами (разные числа – разными буквами), то получится буквенное выражение. Например: Если в числовом выражении 3 · 8 – 7 число 8 заменить на букву а, то получим выражение 3а – 7

Выражение, содержащее буквы, называют буквенным выражением, или алгебраическим выражением. Буква в таких выражениях может принимать много различных значений, меняться, поэтому её называют переменной. Числа, которыми можно заменить букву, называют значениями переменной.

Например, в выражении 15 – а а – это переменная. Значениями переменной а могут быть числа от 0 до 15. Если в алгебраическом выражении 15 – а вместо а подставить число 0, то получим 15 – 0 = 15. Число 15 называется значением алгебраического выражения.

Если а = 0, то значение выражения 15 – а = 15 – 0 = 15 Если а = 1, то значение выражения 15 – а = 15 – 1 = 14 Если а = 2, то значение выражения 15 – а = 15 – 2 = 13 Если а = 3, то значение выражения 15 – а = 15 – 3 = 12

Пример Найдите значение выражения ( 135 + n ) – 23, если n= 73; 65; 0. Если n = 73, то значение выражения (135 + + n) – 23= ( 135 + 73) – 23= 208 – 23 = 185 Если n = 65, то значение выражения (135 + + n) – 23= ( 135 + 65) – 23= 200 – 23 = 177 Если n = 0, то значение выражения (135 + +n) – 23= ( 135 + 0) – 23= 135 – 23 = 112

Пример Найдите значение выражения a – (b + 12), если a= 80, b = 58. Если a = 80, b = 58, то значение выражения a – (b + 12) = 80 – (58 +12) = =80 – 70 = 10

Решим задачу: Одному брату х лет, а другой брат старше его на 5 лет. Сколько лет другому брату? Составьте выражение и найдите его значение при х = 12. Решение: х + 5 (л) другому брату. Если х = 12, то х + 5 = 12 + 5 = 17 (л) другому брату. Ответ: х+5 л, 17 л.

Решим задачу: Собранные в саду яблоки фермер разложил в пять ящиков по а кг и в b ящиков по 20 кг. Сколько килограммов яблок собрал фермер? Вычислите значение полученного выражения при а=18, b=9. Решение: 5а (кг) яблок в пяти ящиках. 20b (кг) яблок в b ящиках. 5a + 20b (кг) яблок всего. Если а=18, b=9, то 5a + 20b=5·18 + 20·9= 90+ +180 = 270 (кг) яблок всего. Ответ: (5a + 20b) кг, 270 кг.

Вы уже знакомы со свойствами арифметических действий. Эти свойства можно записать при помощи алгебраических выражений. При записи нужно показать, что это свойство можно применить к любому числу. С этой целью числа обычно заменяют буквами.

Свойства действий с нулем Сложение и вычитание а + 0=а и 0 + а =а 0 + 0 = 0 0 – 0 = 0 а – а = 0 а – 0 = а Умножение и деление а · 0= 0 и 0 · а =0 0 · 0 = 0 0 : а = 0, где а ≠ 0 Свойства действий с единицей а · 1 = а и 1 · а = а а : 1 = а и а : а = 1

Сегодня мы узнали: — Как использовать буквы для обозначения чисел. — Как вычислить значение алгебраического выражения. — Как применить алгебраические выражения для записи свойств арифметических действий.

Примеры для закрепления: № 1 Найдите значение выражения: а + 7843, если а = 576; 2415; 88 942 – х, если х = 44761; 3) ( a + b ) — 674, если а = 830, b = 243. № 2 Цена хризантемы – а р за один цветок, а цена одной розы – на 30 р больше. Запишите с помощью алгебраического выражения: цену розы; 2) стоимость пяти хризантем; 3) стоимость трех роз; 4)стоимость букета из пяти хризантем и трех роз. № 3 Спортивная форма состоит из футболки и трусов. Цена футболки х руб, а цена трусов с руб. Сколько стоит спортивная форма? Составьте выражение и решите задачу при х=140, с=100.

Примеры для закрепления: № 1 Найдите значение выражения: а + 7843, если а = 576; 2415; 88 942 – х, если х = 44761; 3) ( a + b ) — 674, если а = 830, b = 243. № 2 Цена хризантемы – а р за один цветок, а цена одной розы – на 30 р больше. Запишите на с помощью алгебраического выражения: цену розы; стоимость пяти хризантем; стоимость трех роз; стоимость букета из пяти хризантем и трех роз.

ДОСТУПНО ВНЕСЕНИЕ ОТВЕТОВ

  • 16 предметов
  • Для учеников 1-11 классов и дошкольников
  • Наградные и подарки

Принять участие

Инклюзия в современном обществе и ее роль в социализации

  • Свидетельство каждому участнику

идёт регистрация Трансляция сегодня!

Номер материала: ДБ-1584977

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Источник статьи: http://infourok.ru/ispolzovanie-bukv-dlya-oboznacheniya-chisel-vychislenie-znacheniya-algebraicheskogo-vyrazheniya-primenenie-algebraicheskih-vyraz-4674644.html


Adblock
detector