Меню

Числовая окружность на координатной плоскости как найти координаты точки



Единичная числовая окружность на координатной плоскости

п.1. Понятие тригонометрии

Тригонометрия берёт своё начало в Древней Греции. Само слово «тригонометрия» по-гречески означает «измерение треугольников». Эта наука в течение тысячелетий используется землемерами, архитекторами и астрономами.
Начиная с Нового времени, тригонометрия заняла прочное место в физике, в частности, при описании периодических процессов. Например, переменный ток в розетке генерируется в периодическом процессе. Поэтому любой электрический или электронный прибор у вас в доме: компьютер, смартфон, микроволновка и т.п., — спроектирован с использованием тригонометрии.

Базовым объектом изучения в тригонометрии является угол.

Предметом изучения тригонометрии как раздела математики выступают:
1) взаимосвязи между углами и сторонами треугольника, которые называют тригонометрическими функциями;
2) использование тригонометрических функций в геометрии.

п.2. Числовая окружность

Мы уже знакомы с числовой прямой (см. §16 справочника для 8 класса) и координатной плоскостью (см. §35 справочника для 7 класса), с помощью которых создаются графические представления числовых промежутков и функций. Это удобный инструмент моделирования, с помощью которого можно провести анализ, начертить график, найти область допустимых значений и решить задачу.
Для работы с углами и их функциями существует аналогичный инструмент – числовая окружность.

Числовая окружность (тригонометрический круг) – это окружность единичного радиуса R=1 с центром в начале координат (0;0).
Точка с координатами (1;0) является началом отсчета , ей соответствует угол, равный 0.
Углы на числовой окружности отсчитываются против часовой стрелки. Направление движения против часовой стрелки является положительным ; по часовой стрелке – отрицательным .
Отметим на числовой окружности углы 30°, 45°, 90°, 120°, 180°, а также –30°, –45°, –90&deg, –120°, –180°.

п.3. Градусная и радианная мера угла

Углы можно измерять в градусах или в радианах.
Известно, что развернутый угол, дуга которого равна половине окружности, равен 180°. Прямой угол, дуга которого равна четверти окружности, равен 90°. Тогда полная, замкнутая дуга окружности составляет 360°.
Приписывание развернутому углу меры в 180°, а прямому 90°, достаточно произвольно и уходит корнями в далёкое прошлое. С таким же успехом это могло быть 100° и 50°, или 200° и 100° (что, кстати, предлагалось одним из декретов во времена французской революции 1789 г.).

В целом, более обоснованной и естественной для измерения углов является радианная мера.

Найдем радианную меру прямого угла ∠AOB=90°.
Построим окружность произвольного радиуса r с центром в вершине угла – точке O. Длина этой окружности: L=2πr.
Длина дуги AB: (l_=frac<4>=frac<2pi r><4>=frac<2>.)
Тогда радианная мера угла: $$ angle AOB=frac>=frac<2cdot r>=frac <2>$$

п.4. Свойства точки на числовой окружности

Построим числовую окружность. Обозначим O(0;0), A(1;0)

Каждому действительному числу t на числовой окружности соответствует точка Μ(t).
При t=0, M(0)=A.
При t>0 двигаемся по окружности против часовой стрелки, описывая дугу
AM=t. Точка M — искомая.
При t Например:
Отметим на числовой окружности точки, соответствующие (frac<6>, frac<4>, frac<2>, frac<2pi><3>, pi), а также (-frac<6>, -frac<4>, -frac<2>, -frac<2pi><3>, -pi)
Для этого нужно отложить углы 30°, 45°, 90°, 120°, 180° и –30°, –45°, –90°, –120°, –180° с вершиной в начале координат и отметить соответствующие дуги на числовой окружности.
Отметим на числовой окружности точки, соответствующие (frac<6>, frac<13pi><6>, frac<25pi><6>), и (-frac<11pi><6>).
Все четыре точки совпадают, т.к. begin Mleft(frac<6>right)=Mleft(frac<6>+2pi kright)\ frac<6>-2pi=-frac<11pi><6>\ frac<6>+2pi=frac<13pi><6>\ frac<6>+4pi=frac<25pi> <6>end

п.5. Интервалы и отрезки на числовой окружности

Каждому действительному числу соответствует точка на числовой окружности. Соответственно, числовые промежутки (см. §16 справочника для 8 класса) получают свои отображения в виде дуг.

Числовой промежуток Соответствующая дуга числовой окружности
Отрезок
$$ -frac <6>lt t lt frac <3>$$
а также, с учетом периода $$ -frac<6>+2pi klt tltfrac<3>+2pi k $$
Интервал
$$ -frac <6>leq t leq frac <3>$$
а также, с учетом периода $$ -frac<6>+2pi kleq tleqfrac<3>+2pi k $$
Полуинтервал
$$ -frac <6>leq t ltfrac <3>$$
а также, с учетом периода $$ -frac<6>+2pi kleq tltfrac<3>+2pi k $$

п.6. Примеры

Пример 1. Точка E делит числовую окружность во второй четверти в отношении 1:2.
Чему равны дуги AE, BE, EC, ED в градусах и радианах?

Угловая мера четверти 90°. При делении в отношении 1:2 получаем дуги 30° и 60° соответственно: begin BE=30^=frac<6>.\ EC=60^=frac<3>.\ AE=EC+CD=90^+30^=120^=frac<2pi><3>.\ ED=EC+CD=60^+90^=150^=frac<5pi><6>. end

Пример 2. Найдите на числовой окружности точку, соответствующую данному числу: (-frac<2>; frac<3pi><4>; frac<7pi><6>; frac<7pi><4>).

Находим соответствующие углы в градусах и откладываем с помощью транспортира (положительные – против часовой стрелки, отрицательные – по часовой стрелке), отмечаем соответствующие точки на числовой окружности. begin -frac<2>=-90^, frac<3pi><4>=135^\ frac<7pi><6>=210^, frac<7pi><4>=315^ end

Пример 3. Найдите на числовой окружности точку, соответствующую данному числу: (-frac<11pi><2>; 5pi; frac<17pi><6>; frac<27pi><4>).

Выделяем из дроби целую часть, отнимаем/прибавляем один или больше полных оборотов (2πk — четное количество π), чтобы попасть в промежуток от 0 до 2π.
Далее – действуем, как в примере 2. begin -frac<11pi><2>=frac<-12+1><2>cdotpi=-6pi+frac<2>rightarrow frac<2>=90^\ 5pi=4pi+pirightarrow pi=180^\ frac<17pi><6>=frac<18-1><6>pi=3pi-frac<6>rightarrow pi-frac<6>=frac<5pi><6>\ frac<27pi><4>=frac<28-1><4>pi=7pi-frac<4>rightarrow pi-frac<4>=frac<3pi> <4>end

Пример 4. В какой четверти числовой окружности находится точка, соответствующая числу: 2; 4; 5; 7.

Сравниваем каждое число с границами четвертей: begin 0, fracpi2approxfrac<3,14><2>=1,57, piapprox 3,14\ 3pi 3cdot 3,14\ frac<3pi><2>approx frac<3cdot 3,14><2>=4,71, 2piapprox 6,28 end

(fracpi2lt 2lt pi Rightarrow ) угол 2 радиана находится во 2-й четверти
(pilt 4lt frac<3pi> <2>Rightarrow ) угол 4 радиана находится в 3-й четверти
(frac<3pi><2>lt 5lt 2pi Rightarrow ) угол 5 радиана находится в 4-й четверти
(7gt 2pi), отнимаем полный оборот: (0lt 7-2pilt fracpi2Rightarrow) угол 7 радиан находится в 1-й четверти.

Пример 5. Изобразите на числовой окружности множество точек ((kinmathbb)), запишите количество полученных базовых точек.

$$ frac <2>$$ $$ -frac<4>+2pi k $$

Четыре базовых точки, через каждые 90°

Две базовых точки, через каждые 180°
$$ frac<3>+frac<2pi k> <3>$$ $$ -frac <5>$$

Три базовых точки, через каждые 120°

Пять базовых точек, через каждые 72°

Пример 6. Изобразите на числовой окружности дуги, соответствующие числовым промежуткам.

Источник статьи: http://reshator.com/sprav/algebra/10-11-klass/edinichnaya-chislovaya-okruzhnost-na-koordinatnoj-ploskosti/


Adblock
detector