Меню

Четырехугольник вписан в окружность как найти угол этого четырехугольника



Четырёхугольник вписан в окружность

Четырёхугольник вписан в окружность (задачи). Продолжаем рассматривать задания входящие в состав ЕГЭ по математике. В этой статье мы решим несколько задач с использованием свойств вписанного угла. Теория была подробно уже изложена, обязательно посмотрите . В указанной статье решение заданий по сути сводилось к применению свойства вписанного угла сразу же, то есть это были задания практически в одно действие. Здесь нужно чуть подумать, ход решения не всегда с ходу очевиден.

Применяются: теорема о сумме углов треугольника, свойства вписанного угла, свойство четырёхугольника вписанного в окружность. О последнем подробнее.

*Это свойство было уже представлено, но в другой интерпретации. Итак:

Вписанный четырехугольник — это четырехугольник, все вершины которого лежат на одной окружности.

Четырехугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных углов равны 180 градусам.

То есть, если мы такой четырёхугольник, то сумма его противоположных углов равна 180 градусам.

27870. В окружности с центром O AC и BD — диаметры. Центральный угол AOD равен 110 0 . Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах.

Треугольник BОC равнобедренный, так как ОС=ОВ (это радиусы). Известно, что сумма углов треугольника равна 180 градусам. Рассмотрим ∠BOC и ∠AOD:

Углы при основании равнобедренного треугольника равны, то есть

Угол АОВ является центральным углом для вписанного угла АСВ. По свойству вписанного в окружность угла

Сумма смежных углов равна 180 0 , значит

27871. Угол А четырехугольника ABCD, вписанного в окружность, равен 58 0 . Найдите угол C этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.

Здесь достаточно вспомнить свойство такого четырёхугольника. Известно, что сумма его противоположных углов такого равна 180 градусам, значит угол С будет равен

По свойству вписанного угла градусная величина дуги BCD равна

Следовательно градусная величина дуги BAD будет равна

По свойству вписанного угла угол С будет в два раза меньше, то есть 122 0 .

27872. Стороны четырехугольника ABCD AB, BC, CD и AD стягивают дуги описанной окружности, градусные величины которых равны соответственно 95 0 , 49 0 , 71 0 , 145 0 . Найдите угол B этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.

Построим радиусы АО, OD, OC:

Градусная величина дуги AD равна 145 0 , градусная величина дуги СD равна 71 0 , значит градусная величина дуги АDС равна 145 0 + 71 0 = 216 0 .

По свойству вписанного угла угол В будет в два раза меньше центрального угла соответствующего дуге АDС, то есть

27874. Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 105 0 , угол CAD равен 35 0 . Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

Данная задача может вызвать затруднение. Сразу невозможно явно увидеть ход решения. Вспомним, что известно про вписанный четырёхугольник: сумма его противоположных углов равна 180 градусам. Найдём

На данный момент мы нашли тот угол, который сразу же возможно определить по известному свойству. Если есть возможность найти какую-либо величину, сделайте это, пригодится. Действуем по принципу «находим то, что можно найти исходя из данных величин».

Далее используя теорему о сумме углов треугольника найдём угол ACD:

Вписанные углы ABD и ACD опираются на одну и туже дугу, это означает, что они равны, то есть

27875. Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 75 0 , угол CAD равен 35 0 . Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.

Известно, что вписанные углы опирающиеся на одну и ту же дугу, и лежащие от неё по одну сторону равны. Следовательно

В треугольнике ACD известно два угла, можем найти третий:

Далее воспользуемся свойством – известно, что у вписанного в окружность четырехугольника сумма противолежащих углов равна 180 0 , значит

27869. AC и BD — диаметры окружности с центром O. Угол ACB равен 38 0 . Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах.

27873. Точки A, B, C, D, расположенные на окружности, делят эту окружность на четыре дуги AB, BC, CD и AD, градусные величины которых относятся соответственно как 4:2:3:6. Найдите угол A четырехугольника ABCD. Ответ дайте в градусах.

27876. Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 110 0 , угол ABD равен 70 0 . Найдите угол CAD. Ответ дайте в градусах.

Отмечу, что важно помнить указанные свойства и задачи вы решите без проблем. Конечно, можно выстроить решение не совсем корректно. Например, в задаче 27876 для самостоятельного решения приведено «длинное», или как ещё говорят нерациональное решение. Ничего страшного, если вы именно также решите задачу.

Главное чтобы вы помнили и применяли теорию, и в конечном итоге РЕШИЛИ задание.

В данной рубрике продолжим рассматривать задачи, приглашаю вас на блог!

С уважением, Александр Крутицких

Комиссия спрашивает у директора простой сельской школы:
— По какой причине у вас все дети говорят: пришедши, ушедши?
— А кто их знает, может они так привыкши!

Источник статьи: http://matematikalegko.ru/okrugnost/chetirechugolnik-vpisan-v-okrugnost.html

Вписанный четырехугольник и его свойства (ЕГЭ – 2021)

Мы видели, что вокруг всякого треугольника можно описать окружность.

То есть, для всякого треугольника найдётся такая окружность, что все три вершины треугольника «сидят» на ней. Вот так:

Вопрос: а можно ли то же самое сказать о четырехугольнике? Правда ли, что всегда найдётся окружность, на которой будут «сидеть» все четыре вершины четырехугольника?

Сейчас мы это выясним!

КОРОТКО О ГЛАВНОМ

Если четырехугольник вписан в окружность, то сумма любых двух его противоположных углов равна ( displaystyle 180<>^circ )

Четырехугольник вписан в окружность тогда и только тогда, когда сумма двух его противоположных углов равна ( displaystyle 180<>^circ ).

( displaystyle angle B+angle D=180<>^circ ).

Параллелограмм, вписанный в окружность – непременно прямоугольник, и центр окружности совпадает с точкой пересечения диагоналей.

Трапеция, вписанная в окружность – равнобокая.

НАЧАЛЬНЫЙ УРОВЕНЬ

Вписанный четырехугольник

Вот оказывается, что это НЕПРАВДА!

НЕ ВСЕГДА четырехугольник можно вписать в окружность. Есть очень важное условие:

Четырехугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда сумма двух его противоположных углов равна ( displaystyle 180<>^circ ).

( displaystyle alpha +beta =180<>^circ )

Посмотри, углы ( displaystyle alpha ) и ( displaystyle beta ) лежат друг напротив друга, значит, они противоположные. А что же тогда с углами ( displaystyle varphi ) и ( displaystyle psi )? Они вроде бы тоже противоположные?

Можно ли вместо углов ( displaystyle alpha ) и ( displaystyle beta ) взять углы ( displaystyle varphi ) и ( displaystyle psi )?

Главное, чтобы у четырехугольника нашлись какие-то два противоположных угла, сумма которых будет ( displaystyle 180<>^circ ).

Оставшиеся два угла тогда сами собой тоже дадут в сумме ( displaystyle 180<>^circ ). Не веришь? Давай убедимся. Смотри:

Пусть ( displaystyle alpha +beta =180<>^circ ). Помнишь ли ты, чему равна сумма всех четырех углов любого четырехугольника? Конечно, ( displaystyle 360<>^circ ).

То есть ( displaystyle alpha +beta +varphi +psi =360<>^circ ) — всегда! ( displaystyle 180<>^circ )

Но ( displaystyle alpha +beta =180<>^circ ), →( displaystyle varphi +psi =360<>^circ -180<>^circ =180<>^circ).

Так что запомни крепко-накрепко:

Если четырехугольник вписан в окружность, то сумма любых двух его противоположных углов равна ( displaystyle 180<>^circ )

Если у четырехугольника есть два противоположных угла, сумма которых равна ( displaystyle 180<>^circ ), то такой четырехугольник вписанный.

Доказывать всё это мы здесь не будем (если интересно, заглядывай в следующие уровни теории). Но давай посмотрим, к чему приводит этот замечательный факт о том, что у вписанного четырехугольника сумма противоположных углов равна ( displaystyle 180<>^circ ).

Вот, например, приходит в голову вопрос, а можно ли описать окружность вокруг параллелограмма?

Его автор, Алексей Шевчук, в феврале проведет 4 двухчасовых урока по теме «Планиметрия ЕГЭ №16». Цель уроков — получить 3 первичных балла на ЕГЭ!

Всего на курсе 12 уроков. 4 пройдут в феврале, а 8 уже доступны в записи до 1 августа 2021 года. Пройди эти 12 уроков и ты научишься решать задачи по планиметрии любой сложности. Подробно о том, что входит в курс можно прочитать здесь.

До 2-го февраля скидка — 35%. Осталось:

Вписанный параллелограмм

Попробуем сперва «методом тыка»:

Предположим, что нам как-то удалось посадить на параллелограмм ( displaystyle ABCD) окружность. Тогда непременно должно быть: ( displaystyle alpha +beta =180<>^circ ), то есть ( displaystyle angle B+angle D=180<>^circ ).

А теперь вспомним о свойствах параллелограмма: у всякого параллелограмма противоположные углы равны.

То есть ( displaystyle angle B = angle D).

( displaystyle left< beginangle B=angle D\angle B+angle D=180<>^circ end right.) → ( displaystyle left< beginangle B=90<>^circ \angle D=90<>^circ end right.)

А что же углы ( displaystyle A) и ( displaystyle C)?

( displaystyle ABCD) – вписанный → ( displaystyle angle A+angle C=180<>^circ ) → ( displaystyle angle A=90<>^circ )

( displaystyle ABCD) — параллелограмм→ ( displaystyle angle A=angle C) → ( displaystyle angle C=90<>^circ )

Потрясающе, правда? Получилось, что…

Если параллелограмм вписан в окружность, то все его углы равны ( displaystyle 90<>^circ ), то есть это прямоугольник!

Центр окружности совпадает с точкой пересечения диагоналей этого прямоугольника.

Это, так сказать, в качестве бонуса прилагается.

Ну, вот значит, выяснили, что параллелограмм, вписанный в окружность – прямоугольник.

Вписанная трапеция

А теперь поговорим о трапеции. Что будет, если трапецию вписать в окружность? А оказывается, будет равнобедренная трапеция.

Вот пусть трапеция ( displaystyle ABCD) вписана в окружность.

Тогда опять ( displaystyle angle B+angle D=180<>^circ ), но из-за параллельности прямых ( displaystyle AD) и ( displaystyle BC) ( displaystyle angle B+angle A=180<>^circ ).

Значит, имеем: ( displaystyle left< beginangle B+angle D=180<>^circ \angle B+angle A=180<>^circ end right.) → ( displaystyle angle D=angle A) → трапеция равнобокая.

Даже проще чем с прямоугольником, правда? Но запомнить нужно твёрдо – пригодиться:

Трапеция, вписанная в окружность – равнобедренная.

Давай ещё раз перечислим самые главные утверждения, касающиеся четырехугольника, вписанного в окружность:

СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ

Главная теорема о вписанном четырехугольнике

Известно, что для всякого треугольника существует описанная окружность (это мы доказывали в теме «Описанная окружность»). Что же можно сказать о четырёхугольнике?

Вот, оказывается, что НЕ ВСЯКИЙ четырехугольник можно вписать в окружность, а есть такая теорема:

Четырёхугольник вписан в окружность тогда и только тогда, когда сумма его противоположных углов равна ( displaystyle 180<>^circ ).

На нашем рисунке – ( largedisplaystyle angle alpha +angle beta =180<>^circ )

Давай попробуем понять, почему так? Другими словами, мы сейчас докажем эту теорему.

Но прежде чем доказывать, нужно понять, как устроено само утверждение. Ты заметил в утверждении слова «тогда и только тогда»? Такие слова означают, что вредные математики впихнули два утверждения в одно.

Прямо как у Алисы: «думаю, что говорю» и «говорю, что думаю».

А теперь разбираемся, отчего же верно и 1, и 2?

Доказательство 1

Пусть четырехугольник ( displaystyle ABCD) вписан в окружность. Отметим её центр ( displaystyle O) и проведём радиусы ( displaystyle OA) и ( displaystyle OC).

Что же получится? Помнишь ли ты, что вписанный угол вдвое меньше соответствующего центрального?

Если помнишь – сейчас применим, а если не очень – загляни в тему «Окружность. Вписанный угол».

( displaystyle angle ABC) — вписанный ( displaystyleRightarrow angle ABC=frac<1><2>cdot angle psi )

( displaystyle angle ADC) — вписанный ( displaystyleRightarrow angle ADC=frac<1><2>cdot angle varphi )

Но посмотри: ( displaystyle angle varphi +angle psi =360<>^circ )

( displaystyle beginangle ABC+angle ADC=frac<1><2>angle psi +frac<1><2>angle varphi =\=frac<1><2>left( angle psi +angle varphi right)=frac<1><2>cdot 360<>^circ =180<>^circ end)

Получаем, что если ( displaystyle ABCD) – вписанный, то

( displaystyle angle alpha +angle beta =180<>^circ )

Ну, и ясно, что ( displaystyle angle A) и ( displaystyle angle C) тоже в сумме составляет ( displaystyle 180<>^circ ). (нужно так же рассмотреть ( displaystyle angle BAD) и ( displaystyle angle BCD)).

Его автор, Алексей Шевчук, в феврале проведет 4 двухчасовых урока по теме «Экономическая задача ЕГЭ №17». Цель уроков — получить 3 первичных балла на ЕГЭ!

Пройди эти 4 урока и ты научишься решать экономическую задачу любой сложности с самого нуля, шаг за шагом. Подробно о том, что входит в курс можно прочитать здесь.

До 2-го февраля скидка — 35%. Осталось:

Доказательство 2

Пусть оказалось так, что у четырехугольника ( displaystyle ABCD) сумма каких – то двух противоположных углов равна ( displaystyle 180<>^circ ). Скажем, пусть

( displaystyle angle B+angle D=180<>^circ )

Мы пока не знаем, можем ли описать вокруг него окружность. Но мы точно знаем, что вокруг треугольника ( displaystyle ABC) мы гарантированно окружность описать можем. Так и сделаем это.

Если точка ( displaystyle D) не «села» на окружность, то она неминуемо оказалась или снаружи или внутри.

Пусть сначала точка ( displaystyle D) – снаружи.

Тогда отрезок ( displaystyle AD) пересекает окружность в какой-то точке ( displaystyle E). Соединим ( displaystyle C) и ( displaystyle E).

Получился вписанный (!) четырехугольник ( displaystyle ABCE).

Про него уже знаем, что сумма его противоположных углов равна ( displaystyle 180<>^circ ), то есть ( displaystyle angle alpha +angle gamma =180<>^circ ), а по условию у нас ( displaystyle angle alpha +angle beta =180<>^circ )

Получается, что должно бы быть так, что ( displaystyle angle beta =angle gamma )

Но это никак не может быть поскольку ( displaystyle angle gamma ) – внешний угол для ( displaystyle Delta DEC) и значит, ( displaystyle angle gamma =angle beta +angle delta )

Проделаем похожие действия. Пусть точка ( displaystyle D) внутри.

Тогда продолжение отрезка ( displaystyle AD) пересекает окружность в точке ( displaystyle E).

Снова ( displaystyle ABCE) – вписанный четырехугольник ( displaystyle angle alpha +angle gamma =180<>^circ ).

А по условию ( displaystyle angle alpha +angle beta =180<>^circquad Rightarrow ) должно выполняться ( displaystyle angle beta =angle gamma ), но ( displaystyle angle beta ) — внешний угол для ( displaystyle Delta DEC) и значит, ( displaystyle angle beta =angle gamma +angle delta ).

То есть опять никак не может быть так, что ( displaystyle angle beta =angle gamma ).

То есть точка ( displaystyle D) не может оказаться ни снаружи, ни внутри окружности – значит, она на окружности!

Теперь посмотрим, какие же хорошие следствия даёт эта теорема.

Следствие 1

Параллелограмм, вписанный в окружность, может быть только прямоугольником

Доказательство следствия 1

Давай-ка поймём, почему так. Пусть параллелограмм ( displaystyle ABCD) вписан в окружность. Тогда должно выполняться ( displaystyle angle B+angle D=180<>^circ ).

Но из свойств параллелограмма мы знаем, что ( displaystyle angle B=angle D).

( displaystyle left< beginangle B+angle D=180<>^circ \angle B=angle Dend right. left< beginangle B=90<>^circ \angle D=90<>^circ end right.)

И то же самое, естественно, касательно углов ( displaystyle A) и ( displaystyle C).

Вот и получился прямоугольник – все углы по ( displaystyle 90<>^circ ).

Но, кроме того, есть ещё дополнительный приятный факт:

Центр окружности, описанной около прямоугольника, совпадает с точкой пересечения диагоналей.

Давай поймём почему. Надеюсь, ты отлично помнишь, что угол, опирающийся на диаметр – прямой.

( displaystyle angle B=90<>^circ Rightarrow AC) — диаметр,

( displaystyle angle A=90<>^circ Rightarrow BD) — диаметр

а значит, ( displaystyle O) – центр. Вот и всё.

Следствие 2

Трапеция, вписанная в окружность – равнобедренная

Доказательство следствия 2

Пусть трапеция ( displaystyle ABCD) вписана в окружность. Тогда ( displaystyle angle B+angle D=180<>^circ ).

Но ( displaystyle ADparallel BC Rightarrow angle B+angle A=180<>^circ )

Зарегистрируйся один раз и ты откроешь все 100 статей учебника

А также получишь доступ к видеоурокам и другим бесплатным материалам курса «Подготовка к ЕГЭ с репетитором»

* Если не понравятся бесплатные материалы, ты сможешь отписаться в любой момент

( displaystyle left< beginangle B+angle D=180<>^circ \angle B+angle A=180<>^circ end right.) ( displaystyle Rightarrow angle D=angle A). И так же ( displaystyle angle B=angle C).

Не совсем. На самом деле есть ещё один, «секретный» способ, как узнавать вписанный четырехугольник. Мы этот способ сформулируем не очень строго (но понятно).

Если в четырёхугольнике можно наблюдать такую картинку, как здесь на рисунке (тут углы, «смотрящие» на сторону ( displaystyle AD) из точек ( displaystyle B) и ( displaystyle C), равны), то такой четырехугольник – вписанный.

Это очень важный рисунок – в задачах часто бывает легче найти равные углы, чем сумму углов ( displaystyle B) и ( displaystyle D).

Несмотря на совершенное отсутствие строгости в нашей формулировке, она верна, и более того, всегда принимается проверяющими ЕГЭ. Ты должен писать примерно так:

«( displaystyle angle ABD=angle ACDRightarrow ABCD) — вписанный» — и всё будет отлично!

Не забывай этот важный признак – запомни картинку, и, возможно, она тебе вовремя бросится в глаза при решении задачи.

P.S. Последний бесценный совет!

Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит, ты очень крут. Почему? Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, ты попал в эти 5%!

Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем большинство твоих сверстников. Проблема в том, что этого может не хватить…

Для успешной сдачи ЕГЭ и поступления в ВУЗ мечты на бюджет и, самое главное, для жизни. Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь… Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил.

Это статистика. Но и это не главное.

Главное то, что они более счастливы (есть такие исследования). Возможно, потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю…

Что нужно, чтобы сдать наверняка ЕГЭ, поступить в ВУЗ мечты и быть в конечном итоге… более счастливым? Две вещи.

Первое, тебе нужно набить руку, решая задачи

На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию. Тебе нужно будет решать задачи на время. И, если ты не решал их (много!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь. Это как в спорте: нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка. “Понял” и “Умею решать” – это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.

Второе, заниматься по системе — иначе у тебя уйдет много времени и ты, что-нибудь пропустишь.

И сейчас будет честная реклама наших курсов подготовки к ЕГЭ, потому что они решают обе эти проблемы.

Тебе же понятен этот учебник? Так вот наши курсы такие же понятные как этот учебник.

Потому что их подготовил и ведет автор этого учебника Алексей Шевчук.

Он буквально разжевывает все на вебинарах. Вы решаете задачи. Много задач. У вас будет проверка домашки и марафон «Год за месяц» в мае, чтобы «упаковать» ваши знания и улучшить результат на 20-30%.

Курсы очень бюджетные: от 2000 до 3990 тыс/мес за 12 двухчасовых занятий с Алексеем.

Кликайте по этим кнопкам и читайте условия, там все очень подробно описано:

Источник статьи: http://youclever.org/book/vpisannyj-chetyrehugolnik-1/


Adblock
detector